licea oglonoksztalcace (1974r) 6latek : Omikron sam ocenisz ale wydaje mi sie ze uczniowie z rozszserzenia nie powinni mie z tym problemow Zadnie nr 1 dana jest parabola y²=8x i jej punkty A(2,4) i B(2,−4) W pole ograniczone parabola i odcinkiem AB wpisano prostokat Zbadac zaleznosc pola S tego prostokata od odcietych jego wierzcholkow lezacych na paraboli zadanie nr 2 dane sa punkty a(6,−1) b(2,6) Obliczyc rzedne punktow C na osi OY spelniajacych warunek

	1		1
∡ACB=		π b) ∡ACB >		π.
	2		2

Zadanie nr 3 Rozwiaz nierownosc

	2x−1
logx		>1 (wedlug mnie to latwe
	x−1

Zadanie nr 4 10 ksiazek wsrod ktorych znajduja sie Potop , Wierna rzeka , Pan Tadeusz (nie wodka) ustawiono wsposob losowy na pustej polce Obliczyc pradopodobienstwo zdarzenia a) Wierna rzeka , Pan tadeusz i Potop znajduja sie obok siebie b) Potop i Wierna rzeka stoja obok siebie natoniast Pan T adeusz nie sasiaduje z zadna z nich . ZAdanie nr 5 Stosunek dlugosci podstaw trapezu rownoramiennego jest 2:1 Przekatna tego trapezu polowi kat pomiedzy dluzsza posdtawa a a ramieniem Obliczyc dlugosci bokow i miary katow trapezu wiedzac ze jego pole jest rowne S Masz 3 zadania do wyboru .

6latek : Pozniej napiszse ci zadnia na egzaminy na studia matematyczne Teraz boli mnie reka

Omikron: Popatrzę na te zadania jak do domu wrócę, dzięki.

Eta: Zad 5) Odp : miary kątów : 60^o,60^o, 120^o, 120^o

	4		2
długości podstaw:		√S√3 ,		√S√3
	3		3

6latek : Eta To wyglada na poziom rozszserzony? Oprocz zadania nr 1 gdzie ta parabole nalezy narysowac inaczej to powinni dac rade

Jack: zad 5. mi tak samo wyszlo (dlugosci podstaw) jednakze jak katy wyznaczyc to nie wiem ; D btw. Witaj 5latku

6latek : Witaj Jack

uuu: Trójkat wyznaczony przez ramię, krótszą podstawę i przekatną jest trójkatem równoramiennym.

Eta:

Jack: dobra, niech bedzie : D Pitagorasa trzeba bylo i odrazu wiadomo ;

Metis: Dwa razy Pitagorasem

Eta: .... ja lubię trójkąt "ekierkę"

6latek : Omikron jesli ktos chcial isc na matematyke (studia uniwersytekcie) to w 1974 r musial sie zmierzyc z takimi zadaniami zadanie nr 1 Szescian ktorego krawedz na dlugosc l przecieto plaszczyzna ktora przechodzi przez krawedz podstawy i tworzy z podstawa kat x Wyrazic pole y przekroju i sporzadzic wykres y jako funkcji x Wyznaczyc wartosci ekstermalne Zadanie nr 2 Liczby (−1) ,0 1 sa pierwiastkami wielomianu o wspolczynnikach calkowitych . Wykazac z ewartosc tego wielomianu dla dowolnej liczby calkowitej jest podzielna przez 6 . Zadanie nr 3 Okregi o promieniach r i R gdzie r<r sa styczne wewnetrznie a ich srodki naleza do prostej k. Niech x oznacza odleglosc punktu stycznosci od prostej m prostopadlej do k i przecinajacej okregi Wyrazic stosunek dlugosci cieciw obu okregow zawartych w prostej m w zaleznosci od x>0 Obliczys granice tego stosunku gdy x→0. Zadanie nr 4 Losowo ustawia sie w ciag n ludzi wsrod ktorych sa osoby A i B . jakie jest prawdopodobienstwo ze miedzy A i B stanie dokladnie r ludzi? Zadanie nr 5 dany jest dowolny czworokat plaski Ile elementow moze miec zbior wszystkich izometrii przeksztalcajacych ten czworokąt na siebie ? czas trwania 4 godziny

frab: Skad ty 6latek to wszystko wiesz?

Eta: pasjonat

frab: Ale chodzi mi o takie stare! Starsze o wiele ode mnie

6latek : frab Np Zbior zadan z matematyki dla kandydatow na wyzszse uczlnie techniczne B Gdowski . E Plucinski ja mam z 1976r (sa nowsze wydania

frab: Skąd ty masz takie zbiory

Omikron: To może od trzeciego zacznę. Zad 3 Najpierw dziedzina.

	2x−1
D= {x:x∊R∧x>0∧x≠1⋀		>0}
	x−1

(2x−1)(x−1)>0

	1
x∊(−∞,		)∪(1,∞)
	2

	1
Ostatecznie D=(0,		)∪(1,∞)
	2

	2x−1
logx		>logxx
	x−1

	1
I teraz dwa przypadki, pierwszy to x∊(0,		), wtedy mamy do czynienia z funkcją malejącą
	2

czyli zmieniamy znak przy opuszczaniu logarytmu.

2x−1
	>x
x−1

(2x−1−x²+x)(x−1)>0 (x²−3x+1)(x−1)<0 Δ=5

	3−√5
x1=
	2

	3+√5
x2=
	2

x₃=1

	3−√5
Biorąc pod uwagę dziedzinę x∊(0,		)
	2

Drugi przypadek x∊(1,∞), wtedy funkcja rosnąca, nie zmieniam znaku. Wszystko to samo, tylko na końcu >0

	3+√5
x∊(		,∞)
	2

Ostatecznie

	3−√5		3+√5
x∊(0,		)∪(		,∞)
	2		2

Zad 4 |Ω|=10! a) Ustawienie obok siebie może być na 8 sposobów, oprócz tego ustawienie względem siebie na 3! sposobów. Pozostałe na 7! sposobów. |A|=3! * 7! * 8

	1
P(A)=
	15

b) Rozrysowałem sobie i wyszło mi 112 możliwości ułożenia książek względem siebie i tej trzeciej. Pozostałe na 7! |B|=112* 7!

	7
P(B)=
	45

Zad 5

	1
P=S=		*h*3x
	2

2
	S=hx
3

Z sumy kątów wyszło mi, że trójkąt DCA jest równoramienny, więc |AD|=|BC|=x Z Pitagorasa

	1
x2=		x4+h2
	4

	3
h2=		x2
	4

	√3
h=		x
	2

	2
I dalej już łatwo, podstawiam do		S=hx, a kąty obliczę z sinusa w którymś trójkącie
	3

prostokątnym. Jeszcze nad tymi dwoma pomyślę, a w tych co zrobiłem, mam nadzieję, że błędów nie ma.

6latek : Mozesz kupic na allego albo na innych aukcjach http://allegro.pl/zbior-zadan-z-matematyki-gdowski-plucinski-i6403590225.html

6latek : Zadanie nr 4 dobrze Zadnie nr 5 wiesz jakz robic Zadanie nr 3 zle

	3−√5		1		3+√5
x∊(		,		)U(1,		)
	2		2		2

uuu: Zad 2 W(x)=g(x)x(x−1)(x+1) −trzy kolejne liczy całkowite bedą zawsze dla x− całkowitego więc albo bedzie 0 albo zawsze +−2 i +−3

uuu: Zad 4

	2(n−2)!(n−r−1)
p=
	n!

uuu: Zad 3 S=√(2R−x)/(2r−x) Granica=√R/r

Omikron: W trzecim napisałem, że zmieniamy znak po opuszczeniu logarytmu i nie zmieniłem znaku

frab: Czy w zad 1 przekrój nie zalezy od tego jakim kątem jest x? bo raz moze być trójkatem 0<x≤45 lub czworokatem x>45 i x≤90

Omikron: Zad 2 A(6,−1) B(2,6) C(0,c) a) Kąt ma być 90 stopni. Najpierw znajdę równania prostych. AC: −1=6a+b c=b Odejmuję stronami −1−c=6a

	−1−c
a=
	6

	−1−c
y=		x+c
	6

BC: 6=2a+b c=b 6−c=2a

	6−c
a=
	2

	6−c
y=		x+c
	2

I teraz warunek prostopadłości.

6−c		−1−c
	*		=−1 / *(6)
2		6

(18−3c)(−1−c)=−6 Dalej prosto. W podpunkcie b wykorzystałbym wzór na tangens kąta między prostymi i stwierdziłbym, że musi być ujemny.

	a1−a2
tga = |		|
	1+a1*a2

Wzór musiałem sprawdzić, ale na swoją obronę powiem, że na maturze go pamiętałem

frab: Zad 2

	3!8!
a) Czy P(A)=		?
	10!

uuu:

	8*3!*7!
Wg mnie chyba tak P(A)=
	10!

uuu: Zad 4 b) A=2(7*7!*2+6*7*7!) Ω=10!

Omikron: Zad 1 Jako c oznaczyłem odciętą wierzchołka na paraboli. Wtedy rzędna to 2√2c. Wyliczyłem boki i wyszło mi coś takiego: Dziedzina c to (0,2) C=(c,2√2c) D=(c,−2√2c) E=(2,−2√2c) F=(2,2√2c) |CD|=4√2c |DE|=2−c S=4√2c*(2−c) Nie jestem jednak pewny czy nie trzeba było zrobić czegoś innego, bo po raz pierwszy spotykam się z taką "inną parabolą". Dużo geometrii, ale musieliście zrobić 3 z 5 zadań, więc jeżeli czegoś nie umieliście to wciąż mogliście mieć max punktów. Na wstępnych egzaminach też były 3 zadania do wyboru?

6latek : Nic nie piszse ze do wyboru

Omikron: To tutaj gorzej. Jak znajdę trochę czasu to pomyślę nad tymi zadaniami dzisiaj, jak nie to zajmę się nimi jutro.

uuu: Czy moje odp są poprawne?

frab: Zad 5 Najwiecej chyba bedzie miał kwadrat bo 8?

6latek : uuu i frab Odpowiedzi mam takie do 2 zestawu zad3

	2r−x		r
√		i p{
	2R−x		R

	2(n−r−1
Zad4
	n(n−1)

Zad 5 1,2, 4, 8

uuu: Czyli Zad 3 i 4 mam dobrze. A zadanie 2 jest OK? Zad 5 8 −kwdarat 4−prostokąt, romb 1 i 2 to nie wiem

frab: Czy w zad 1 przekrój nie zalezy od tego jakim kątem jest x? bo raz moze być trójkatem 0<x≤45 lub czworokatem x>45 i x≤90 i x=0

uuu: Zad 5 1 − to tożsamość a który czworokat ma 2?

uuu: Czy to bedzie symetria wzgledem punktu przeciecia przekatnych w rownolegloboku?

6latek : Nie ma do zadania nr 1 i2 wiec musicie sami dojsc sobie Jet mi trudno pisac ale napiszse jeszce wam Studia techniczne Wariant A czesc 1 (czas trwania 2 godziny ) Na hiperboli x²−y²=a² obrano dowolny punkt w 1 cwiartce plaszczyzny Przez ten punkt poprowadzono dwie rozne proste , z ktorych kazda zawiera jeden z wierzcholkow hiperboli Wykazac ze suma katow ostrych jakie te proste tworza z osia X jest katem prostym Zadanie nr 2 dane jest rownanie kwadratowe mx²−(m²+1)x+m²+1=0 Zbadac sume pierwiastkow rzeczywistych tego rownania jak funkcji parametru m i podac wykres tej funkcji (latwizna ) Zadanie nr 3 W dwoch naczyniach znajduja sie roztwory soli o roznych stezenianaich , w pierwszym m kg a w drugim n kg . Z kazdego naczynia pobrano taka sama ilosc roztworu a nastepnie przelano do drugiego z naczyn . Wtedy okazalo se ze stezenia procentowe roztworow w obu naczyniach sa jednakowe. ile kg roztworu pobrano z kazdego naczynia ? Czesc druga (3 zadania do wyboru czas trwania 2,5 godziny) Zadanie nr 1 W trojkacie ABC boki AC i BC sa rowne Okrag ktorego srednica jest wysokosc CD trojkata przecina boki trojkata w punktach dzielacych te boki w stosunku mdo n liczac od wierzcholka C Obliczyc pole trojkata ABC majac dana wysokosc CD rowna a zadanie nr 2 jeden z bokow trojkata lezy na plazcyznie P Pozostale boki tworza z plaszczyzna P katy α i β a rzuty tych bokow na plaszcyzne P sa prostopadle Znalezc tangens kata nachylenia plaszczyzny trojkata do placzyzny P ZAdanie nr 3 Oblicz wartosc wyrazenia −1+2−3+.....(−1)ⁿn ZAdanie nr 4 Dla jakich wartosci x∊<0,π> spelniona jest nierownosc

cos2x+cosx−1
	>2
cos2x

Ostatnie juz Nr 5 SPosrod 20 mezczyzn i 5 kobiet wybrano 3 ososbowa delegacje Zakaldamy z ekazda osoba miala te sama szanse wyboru Obliczyc prawdpodobienstwo ze w sklad delegacji weszla conajmniej jedna kobieta .

6latek : Moze dopytajcie Panowie Ete albo Mile lub tez moze pojawi sie Qulka One sa na biezaco z tym (tak mi sie wydaje .

uuu: Geometria zad1 Mi wyszło pole (m+n)*√mn

uuu: Zad 2 Wg mnie to jest ostrosłup o wysokości która jest jego krawadzią(H). A dwie sciany boczne sa trójkatami prostokatnymi. Wysatrczy policzyć wysokość tego trójkata i wysokość podstawy uzaleznione od H.

6latek : Odp jest taka

	n
P=a2√
	m

6latek : Masz odp do 2 zestwu nr 1 juz napisalem nr 2 √tg²α+tg²β nr 3

1
	n dla n=2k
2

	n+1
−		dla n=2k−1 k∊N
	2

Nr 4

	1		1		1		3
x∊(		π,		π)U(		π,		π)
	4		3		2		4

	58
nr 5
	115

Moze takze kolega skorzysta

maciu : ja nie umiem zadnego

Omikron: Z tego co widzę z geometrii trudne zadania, ale spróbuję je później zrobić.

farb: zad1 CD jest średnicą okręgu, więc trójkąty: ADC, ADE, DEC są prostokątne i tu trzeba skorzystać h²=x*y i pare razy tw Pitagorasa

6latek : farb z jakiego wojewodzta jetes?

farb: łodzikie a czemu

6latek : Tak z ciekawosci zapytalem . Matura 1964r (Lodz miasto) Wedlug mnie latwa Zadanie nr 1 W ostroslupie SABC wpisamym w stozek podsatwa ABC jest trojkatem rownoramiennym o ramionach AB=AC=a i kacie miedzy nimi zawartym α Obliczyc objetosc stozka jesli sciana boczna BSC jest nachylona do plaszcyzny podstawy pod katem β. Wykonac obliczenia dla a= 34,67 α=42^o43' β=56^o17' Zadanie nr 2 Suma trzech liczb tworzacych ciag geomwetryczny wynosi 62 SUma zas ich logarytmow jest rowna 3 Znalezc te liczby Zadanie nr 3 Rozwiazac rownanie sin⁴x−cos⁴x= 0,25(sinx+cosx)²

6latek : Rysunek do zadania nr 1 musisz oczywisci wykonac sam bo wtedy nie robiono rysunkow do zadania (kazdy musial sobie zrobic sam

Omikron: Spróbuję teraz zrobić drugi zestaw zadań (ten na studia uniwersyteckie). Zad 1 Przekrój jest prostokątem o jednym boku l i drugim nieznanym. Ten nieznany bok jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, jego przyprostokątną jest l, a kątem przy l jest x. Nieznany bok oznaczam jako w.

	l
W takim razie cosx=
	w

	l
w=
	cosx

	l2
Pole przekroju=
	cosx

Dalej nic nie zrobię, bo pochodna z funkcji trygonometrycznych to teraz poziom studiów. Zad 2 W(x)=a(x−1)x(x+1) ∧ a∊C ⋀ x∊C Iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych podzielny przez 6 c.k.d. Zad 3 Rozrysowałem sobie i rozwiązanie sprowadza się do zastosowania dwa razy Pitagorasa. W jednym przypadku mamy trójkąt w (mała cięciwa), x, r−x. W drugim przypadku trójkąt z (duża cięciwa), R, R−x Wychodzi ostatecznie

w		2r−x
	=√
z		2R−x

	2r−x		r
limx→0√		=√
	2R−x		R

Zad 4 |Ω|=n! Co do A, popełniłem błąd, ale po sprawdzeniu odpowiedzi wiem dlaczego powinno wyjść jak jest. (n−r−1) − to jest możliwość sztywnego ustawienia grupy A, r osób, B 2 − możliwość przestawienia miejscami A i B (n−2)! − możliwości postawienia na konkretnych miejscach wszystkich osób poza A i B |A|=2(n−r−1)*(n−2)!

	2(n−r−1)
P(A)=
	(n−1)n

Zad 5 Tutaj nie wiem czy powinienem jakoś udowodnić dlaczego, czy po prostu stwierdzić, dziwne się to zadanie wydaje. W większości te zadania nie są bardzo trudne, ale myślę, że na wyższym poziomie niż matura teraz. "Myślę", ale nie jestem przekonany czy można to porównywać, bo jednak wtedy byliście przygotowywani do tej innej matury, a w programie nauczania liceum było więcej.

Benny: W zadaniu drugim nie ma żadnej informacji, że wielomian jest trzeciego stopnia.

Omikron: Nie ma, ale poza tym, że powinienem inaczej zapisać wzór wielomianu (wykropkować?) to nic nie zmienia.

Benny: W(x)=x(x−1)(x+1)Q(x)

Omikron: No tak, tak najłatwiej

frab: Jak ty rozwiązałes zadane 1? Czy w zad 1 przekrój nie zalezy od tego jakim kątem jest x? bo raz moze być trójkatem 0<x≤45 lub czworokatem x>45 i x≤90 i x=0

Omikron: Jakby był trójkątem, to nie byłby to przekrój, bo nie dzieliłby sześcianu na dwie części (pomiędzy tymi częściami byłoby połączenie).

frab: Nadal nie rozumiem twojego toku myslenia.

frab: Czemu to nie moze być np trapez?

Omikron: W jaki sposób to, jaką figurą jest przekrój, zależy od miary x?