równanie klaus: Pokaż że x⁴−18x²+4dx+9 =0 ma 4 rozwiązania gdy gdy d⁴ ≤1728.

Mariusz: x⁴−(18x²−4dx−9)=0 (x²)²−(18x²−4dx−9)=0

	y		y2
(x2+		)2−((y+18)x2−4dx+		−9)=0
	2		4

	y2
4(		−9)(y+18)−(4d)2=0
	4

Δ=0 (y²−36)(y+18)−16d²=0 y³+18y²−36y−648−16d²=0 y=w−6 (w−6)³+18(w−6)²−36(w−6)−648−16d²=0 w³−18w²+108w−216+18(w²−12w+36)−36w+216−648−16d²=0 w³−18w²+108w−216+18w²−216w+648−36w+216−648−16d²=0 w³−144w−16d²=0 w=u+v (u+v)³−144(u+v)−16d²=0 u³+3u²v+3uv²+v³−144(u+v)−16d²=0 u³+v³−16d²+3(u+v)(uv−48)=0 u³+v³−16d²=0 3(u+v)(uv−48)=0 u³+v³=16d² uv=48 u³+v³=16d² uv=48 u³+v³=16d² u³v³=110592 t²−16d²t+110592=0 (t−8d²)²−(64d⁴−110592) (t−8d²−√64d⁴−110592)(t−8d²+√64d⁴−110592) u³=8d²+√64d⁴−110592 v³=8d²−√64d⁴−110592 y=³√8d²+√64d⁴−110592+³√8d²−√64d⁴−110592−6

	y		y2
(x2+		)2−((y+18)x2−4dx+		−9)=0
	2		4

	y		4d		1	y2−36
(x2+		)2−(y+18)(x2−		+			)
	2		y+18		4	y+18

	y		4d
(x2+		)2−(y+18)(x−		)2=0
	2		2(y+18)

	y		2d
(x2+		)2−(y+18)(x−		)2=0
	2		(y+18)

	y		2d
(x2+		)2−(√y+18x−		)2=0
	2		√y+18

	1		4d
(x2−√y+18x+		(y+		))
	2		√y+18

	1		4d
(x2+√y+18x+		(y−		))=0
	2		√y+18

Wyróżniki obydwu trójmianów kwadratowych powinny być nieujemne