granica ciagu Szlub:

	1		1
Dany jest ciąg: a0 = a1 = 1, an + 2 =		+		.
	an + 1		an

Pokaz i oblicz lim_{n →∞} a_n

Adam:

	1		1		1		1
limn→∞an=x=limn→∞		+		=		+
	an+1		an		x		x

	2
x=
	x

x²=2 x=√2 ∨ x=−√2 ∀n∊N a_n≥0 ⇒ x≥0 x=√2 pozostaje udowodnić że granica istnieje

Szlub: No tyle to akurat wiem ale mnie bardziej interseuje dowód ze ta granica istnieje bo to powinno być pierwsze a nie liczenie granicy.

Adam: może spróbuj udowodnić że dla każdego n a_n≤2 z tego że a_n≥1 mamy

	1		1		1		1
an−1≥1 ∧ an−2≥1 ⇒		≤1 ∧		≤1 ⇒ an=		+		≤2
	an−1		an−2		an−1		an−2

Szlub: Niestet nie wiem jak pokazać ze a_n≤2

Adam: napisałem ci jak pokazać a_n≤2 musisz najpierw pokazać że a_n≥1

Szlub: Miałem napisać że a_n≥1 jak to pokazać

Adam: myślę że indukcją matematyczną

Adam: może inaczej, mamy 1≤ a₁,a₂,a₃ ≤2 więc załóż że mamy 1≤ a_n−1 , a_n ≤2

	1		1
stąd 1≥		,		≥ 1/2
	an		an−1

więc 2≥a_n+1≥1

Adam: uznałem że jedno wynika z drugiego więc należałoby je połączyć

Szlub: I jeszcze monotoniczność?

Adam: ten ciąg raczej nie jest monotoniczny więc z tym jest problem

Szlub: To w jakim celu myśłes o tych szacowaniach?