granica Grwka: Oblicz granice przy n dażcym do nieskończonosci ciagu ⁿ√ 1+sinn

ICSP: 1

Grwka: skąd?

jc: Jeśli granica istnieje, to jest równa 1. Ale jak pokazać, że istnieje?

Grwka: No ale ICSP obliczyła więc sie pytam skad?

Dominika:

	sinn
lim n√1+sinn= lim n√1 +		x n
	n

Dominika: i to jest równe ⁿ√n=1

Dominika:

sinn
	dąży do 1
n

Tak mi się wydaje

jc: Wydaje Ci się (sin n)/n →0 przy n→∞.

Adam:

sin(n)
	dąży do 1 gdy n→0
n

	sin(n)
ale gdy n→∞ to		→0
	n

Grwka: To ile wynosi ta granica

jc: Jeśli w ogóle istnieje, to jest równa jeden. Skąd masz takie zadanie?

Adam: nie istnieje

Adam: jeśli mówimy o definicji granicy dla ciągów to =1

Adam: bo gdybyśmy mówili o granicy funkcji to ona nie istnieje

Grwka: Przecież ciąg to też funkcja

Adam: tak, ale chodziło mi o to że jeśli dziedzina byłaby rzeczywista bez zera

Adam: w sumie to R₊

Adam: chodzi mi o to że dla x∊N 1+sin(x)≠0 ale dla x∊R₊ już 1+sin(x)=0

Adam:

	3
dla x=		*π+2kπ k∊N
	2

Grwka: Ok to w takim razie ile wynosi ta granica w końcu

Adam: napisałeś że chodzi ci o granicę ciągu więc 1

Grwka: Jak doszedłes do tego ze to 1 ?

Adam: masz typowe granice takie jak lim ⁿ√a = 1 gdzie a>0 czy też ⁿ√n = 1, twoja co prawda nie jest typowa ale jest podobna

jc: Myślę, że to nie taka prosta sprawa. Po prostu, może się zdarzyć, że znajdziemy dowolnie duże n takie, że sin n będzie niezwykle bliskie −1. Wydaje mi się, że kiedyś pokazałem, że ciąg (cos n)ⁿ nie ma granicy (nie jestem pewny, musiałbym poszukać w notatkach).

Adam: można by przyjąć jakąś najmniejszą nierówną zeru wartość funkcji 1+sin(n) i tak samo jakąś największą a ponieważ granice z nich lim ⁿ√a=1 to nasza granica =1

Adam: właśnie o to mi chodzi że takie największe/najmniejsze wartości nie istnieją ale nie ważne jaką byś wybrał to granice z obu byłyby równe 1

g: A może podejść probabilistycznie. Zakładam, że w zakresie n ∊ [N+1, 2N] (N duże), po sprowadzeniu n do zakresu [0, 2π) mniej więcej równomiernie trafiamy w ten zakres. Przy założeniu że x ∊ [0, 2π) i rozkład pr. x jest równomierny, to

	2arccos(1−ε)		√2ε
P [ 1−sin(x) < ε ] =		≈		(przybliżenie dla małych ε)
	2π		π

Teraz chciałbym tak uzależnić ε od N, żeby ε^1/N był istotnie mniejszy od 1. Zależność wielomianowa typu ε = 1/N^k jest za słaba. Zależność eksponencjalna ε = e^−N jest wystarczająca bo pierwiastek N−tego stopnia z e^−N to 1/e < 1. Prawdopodobieństwo że w N próbach chociaż raz 1−sin(x) < ε można przybliżyć

	√2e−N
P ≈ N*		→ 0 (dla N→∞)
	π

Tak więc nie udało mi się dowieść dużego prawdopodobieństwa tego że ciąg nie ma granicy. Trzeba by jeszcze spróbować uzależnić ε od N jakąś zależnością pomiędzy wielomianową a eksponencjalną, ale nie wiem czy taka istnieje.

jc: Wystarczy pokazać, że (tg n)² /n →0, tylko to też nie wydaje się łatwe. (nie jest to warunek konieczny)

jc: Ooo ! mamy ciekaw zadanie. Czy ciąg (tg n)² / n jest zbieżny ?

Metis: g = Gray

g: Jeżeli to pytanie o aliasing, to nie. Jeśli co innego to nie rozumiem. Przy okazji pytanie: czy istnieje funkcja rosnąca silniej niż wielomianowo, ale słabiej niż eksponencjalnie?