maximum Kamil1: Znaleźć max wyrazenia x₁³+...+x₁₀³ dla x₁,...,x₁₀∊[−1,2] jezeli x₁+...+x₁₀=10.

jc: 5*2³ = 40

Kamil1 : Co proszę?

jc: Chyba można uzyskać więcej. 6*2+4*(−1/2) = 10 6*2³ − 4*(1/2)³ = 48 − 1/2 = 47.5 Czy można lepiej? Spodobało mi się zadanie ...

jc: Myślę, że lepiej nie można. x₁=x₂ =x₃=x₄=x₅=x₆ = 2, x₇=x₈=x₉=x₁₀ = −1/2 x₁³+x₂³ + ... + x₁₀³ = 47 + 1/2. Nie wiem, jak pokazać, że więcej nie uzyskamy.

Saizou : Żmudne to zadanie, już samo pisanie formy kwadratowej jest męczące, a co dalej

Mariusz: Mamy funkcję dziesięciu zmiennych z czego jedną zmienną można uzależnić i zostanie policzyć maximum funkcji dziewięciu zmiennych na zadanym przedziale

Kamil1: 47,5 to max ale bardziej interesuje mnie jak to pokazać

jc: Mariusz, spróbuj! jestem ciekaw, czy największą wartością jest 47.5

jc: Nie zmniejszymy ogólności zakładając, że 2 ≥ x₁ ≥ x₂ ≥ ... ≥ x₁₀ ≥ −1. Załóżmy, że mamy lepsze rozwiązanie niż opisane wyżej. Niech k będzie najmniejszym indeksem takim, że x_k różni się naszego wzorcowego rozwiązania. ... Myślę, że jakoś tak trzeba (ale może zupełnie inaczej).

Mariusz: Myślę że pomysł Saizou jest dobry Jak ja pisałem o tym aby wykorzystać extremum funkcji wielu zmiennych to jeszcze odpowiedzi Saizou nie widziałem

Mariusz: Wektor pierwszych pochodnych cząstkowych ma być zerowy Macierz drugich pochodnych ma być ujemnie określona Tutaj nie ma texa więc byłby problem z zapisaniem tego Saizou już zauważył że to jest żmudne

Mariusz: Chociaż tutaj bardziej pasuje extremum warunkowe

jc: Krok do rozwiązania. W optymalnym rozwiązaniu co najwyżej jeden dodatni wyraz jest mniejszy od 2. 2 > x ≥ y > 0. Wybieramy 0 < d ≤ min( 2−x, y). Wtedy 2 ≥ x+d > y−d ≥ 0 oraz (x+d)³ + (y−d)³ − x³ − y³ = 3(x²−y²)d + 3 (x−y)d² > 0. Ujemne wyrazy powinny być równe (łatwe do uzasadnienia). Na razie wiemy, że optymalne rozwiązanie ma postać 2, 2, ... , 2, a, b, b,... b. 2n + a + mb = 10, suma = 8n + a³ + mb³, 2 > a ≥ b ≥ −1. n+m = 9 lub 2,2,...,2, b,b,...,b czyli 2n+bm=10, suma = 8n+mb³, n+m=10. Analiza tych dwóch przypadków powinna dać moje rozwiązanie z sumą = 47.5.