Całka K: Proszę o pomoc w rozwiązaniu całki

	x2
∫		dx
	√(x−3)(5−x)

jc: (x−3)(5−x) = 16 − (x−1)² x = 1 + 4 sin t dx = 4 cos t całka = ∫ (1 + 4 sin t)² dt = 9 t − 8 cos t − 8 sin t cos t

	x−1		x−1
t = arc sin		, sin t =		, cos t = ... (jedynka trygonometryczna)
	4		4

Mila: Mała pomyłka: (x−3)*(5−x)=−x²+8x−15=1−(x−4)²

jc: Dziękuję Milu K: podstaw więc x = 4 + sin t, rachunki podobne

Mila: Albo x−4=t, będą trzy całki do rozwiązania.

Mariusz: √(x−3)(5−x)=(x−3)t (x−3)(5−x)=(x−3)²t² 5−x=(x−3)t² 5−x=xt²−3t² 5+3t²=x+xt² 5+3t²=x(1+t²)

	5+3t2		2
x=		=3+
	1+t2		1+t2

	2t
(x−3)t=
	1+t2

dx=2*(−1)*(1+t²)⁻²(2t)dt

	−4t
dx=		dt
	(1+t2)2

	(5+3t2)2	1+t2	−4t
∫				dt
	(1+t2)2	2t	(1+t2)2

	(5+3t2)2
−2∫		dt
	(1+t2)3

	−50−60t2−18t4
=∫		dt
	(1+t2)3

	−50−60t2−18t4
∫		dt=U{a3t3+a2t2+a1t+a0}{(1+t2)2
	(1+t2)3

	b1t+b0
}+∫		dt
	1+t2

−50−60t2−18t4
	=
(1+t2)3

(3a3t2+2a2t+a1)(1+t2)2−(a3t3+a2t2+a1t+a0)(1+t2)4t
(1+t2)4

	b1t+b0
+
	1+t2

−50−60t2−18t4
	=
(1+t2)3

(3a3t2+2a2t+a1)(1+t2)−(a3t3+a2t2+a1t+a0)4t
(1+t2)3

	(b1t+b0)(1+t2)2
+
	(1+t2)3

−50−60t²−18t⁴=(3a₃t²+2a₂t+a₁)(1+t²)−4t(a₃t³+a₂t²+a₁t+a₀) +(b₁t+b₀)(1+t²)² −50−60t²−18t⁴=(3a₃t⁴+2a₂t³+a₁t²+3a₃t²+2a₂t+a₁) −4a₃t⁴−4a₂t³−4a₁t²−4a₀t+(b₁t+b₀)(1+2t²+t⁴) −50−60t²−18t⁴=(3a₃t⁴+2a₂t³+a₁t²+3a₃t²+2a₂t+a₁) −4a₃t⁴−4a₂t³−4a₁t²−4a₀t+b₁t⁵+2b₁t³+b₁t+b₀t⁴+2b₀t²+b₀ −50−60t²−18t⁴=b₁t⁵+(b₀−a₃)t⁴+(2b₁−2a₂)t³+(2b₀+3a₃−3a₁)t² +(b₁+2a₂−4a₀)t+b₀+a₁ b₁=0 b₀−a₃=−18 2b₁−2a₂=0 2b₀+3a₃−3a₁=−60 b₁+2a₂−4a₀=0 b₀+a₁=−50 b₁=0 a₂=0 a₀=0 b₀=−18+a₃ 2(−18+a₃)+3a₃−3a₁=−60 −18+a₃+a₁=−50 b₁=0 a₂=0 a₀=0 b₀=−18+a₃ 5a₃−3a₁=−24 3a₃+3a₁=−96 b₁=0 a₂=0 a₀=0 b₀=−18+a₃ 5a₃−3a₁=−24 a₃=−15 b₁=0 a₂=0 a₀=0 b₀=−33 a₃=−15 a₁=−17

	−50−60t2−18t4		−15t3−17t		dt
∫		dt=		−33∫
	(1+t2)3		(1+t2)2		1+t2

	−50−60t2−18t4		−15t3−17t
∫		dt=		−33arctan(t)+C
	(1+t2)3		(1+t2)2

	−50−60t2−18t4		t		2
∫		dt=−		(15+		)−33arctan(t)+C
	(1+t2)3		1+t2		1+t2

	−50−60t2−18t4		1	2t		1	2t
∫		dt=−			(15+			)−33arctan(t)+C
	(1+t2)3		2	1+t2		t	1+t2

	x2		1		(x−3)
∫		dx=−		√(x−3)(5−x)(15+		√(x−3)(5−x))
	√(x−3)(5−x)		2		√(x−3)(5−x)

	√(x−3)(5−x)
−33arctan(		)+C
	x−3

	x2		1		√(x−3)(5−x)
∫		dx=−		√(x−3)(5−x)(15+(x−3))−33arctan(		)+C
	√(x−3)(5−x)		2		x−3

	x2		1		√(x−3)(5−x)
∫		dx=−		(x+12)√(x−3)(5−x)−33arctan(		)+C
	√(x−3)(5−x)		2		x−3

Mariusz: Można też przez części (x−3)(5−x)=5x−x²−15+3x (x−3)(5−x)=−x²+8x−15 (x−3)(5−x)=−(x²−8x+15) (x−3)(5−x)=−(x²−8x+16−1) (x−3)(5−x)=1−(x²−8x+16) (x−3)(5−x)=1−(x−4)²

	x2		((x−4)+4)2
∫		dx=∫		dx
	√(x−3)(5−x)		√(x−3)(5−x)

	(x−4)2		8(x−4)		16
∫		dx+∫		dx+		dx
	√(x−3)(5−x)		√(x−3)(5−x)		√(x−3)(5−x)

	(x−4)2
∫		dx=−(x−4)√(x−3)(5−x)+∫√(x−3)(5−x)dx
	√(x−3)(5−x)

	(x−4)2		1−(x−4)2
∫		dx=−(x−4)√(x−3)(5−x)+∫		dx
	√(x−3)(5−x)		√1−(x−4)2

	(x−4)2		1
2∫		dx=−(x−4)√(x−3)(5−x)+∫		dx
	√(x−3)(5−x)		√1−(x−4)2

	(x−4)2		1		1		1
∫		dx=−		(x−4)√(x−3)(5−x)+		∫		dx
	√(x−3)(5−x)		2		2		√1−(x−4)2

	8(x−4)
∫		dx=−8√(x−3)(5−x)+C
	√(x−3)(5−x)

	1		33
=−		(x−4)√(x−3)(5−x)−8√(x−3)(5−x)+		arcsin(x−4)+C
	2		2

	1		33
=−		(x+12)√(x−3)(5−x)+		arcsin(x−4)+C
	2		2