liczby rzeczywiste PrzyszlyMakler: LICZBY RZECZYWISTE− ZADANIA Witam, proszę chętne do pomocy osoby z tego forum, a w szczególności Etę do podzielenia się fajnymi zadankami z liczb rzeczywistych, ale no, żeby nie było więcej niż 5 nierozwiązanych na raz. Zadania nie trudniejsze niż do poziomu matury rozszerzonej. Z góry dziękuję! Zabiorę się za działanie niezwłocznie po powrocie, czyli ok. 21.

Dziadek Mróz: 1 + 1 = ?

hoh: 11?

Benny: Jakie ciało?

hoh: ludzkie

Jerzy: Liczba naturalna n jest co najmniej trzycyfrowa. Jeżeli pomiędzy cyfrę setek, a cyfrę dziesiatek tej liczby wpiszemy znak mnożenia, to po wykonaniu mnożenia otrzymamy połowę liczby n. Wyznacz wszystkie liczby n o tej własności.

Saizou : Zadanie 1

	n4		n3		n2
Wykazać, że liczba postaci		+		+		, gdzie n€N,
	4		2		4

jest kwadratem liczby naturalnej ­­. Zadanie 2 Wykaż, że każda liczba pierwsza, większa od 3, jest postaci 6n+1 lub 6n+5, gdzie n€N. Zadanie 3

	3m−5
Wykaż, że dla każdego m€N+ liczba postaci		(m3−3m2+2m) jest liczbą całkowitą.
	12

Zadanie 4 Wykaż, że każda liczba rzeczywista x spełnia nierówność

	9x6+x2
x4≤
	6

Metis: Makler rozwiązujesz?

Benny: Przecież to pierwsze to zwykłe zwinięcie do wzoru skróconego mnożenia

Jack: ostatnie to uporzadkowanie i tez chowanie do wzoru skroconego... drugie jest ciekawe, chyba ze mozna to zrobic z indukcji.

fifi: w drugim mozna zauwazyć ze 6n+k,0≤k≤5 tak można zapisać kadą liczbą naturalną

omikron: Dlaczego za Maklera rozwiązujecie?

rownik: rozwiązujecie inne na forum bo są nierozwiazane, a te mu zostawcie

Eta: Hej Jerzy Fajne zadanko Odp: n=360 lub n=1352

sroka: Czy wy widzicie dla kogo te zadania

Eta: Ja podałam tylko odp

sroka: ok

Saizou : Zadanie 5 Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p, dla których p+4 jest kwadratem liczby naturalnej.

wies: Zad 5 Oznacz liczbę naturalną przez n+2

PrzyszlyMakler: Cześć, dopiero wszedłem do domu i robię te zadanka. Nie chcę rozwiązania, bo to zadanie jest super, ale chcę naprowadzenie. Ułożyłem coś takiego: 100 a + 10b + c = n

	1
a*b + c =		n
	2

Problem w tym, że chcę sobie pomóc tym, co Eta napisała i podstawiając do tego liczbę1352 mi nie wychodzi "Jeżeli pomiędzy cyfrę setek, a cyfrę dziesiatek tej liczby wpiszemy znak mnożenia, to po wykonaniu mnożenia otrzymamy połowę liczby n." 3*5 = 15 to mamy [1] <− od tysiąca, nie wiem co z niązrobić.. 15 i [2] od jedności. A połową lcizby 1352 jest 672, ewidentnie czegoś nie rozumiem.

PrzyszlyMakler: zad. 1

n4 + 2n3 + n2		n2(n + 1)2
	=
4		4

I to już w zasadzie kończy dowód, czy nie?

Metis: Nie

wies: Co najmiej trzycyfrowa

PrzyszlyMakler: zad. 2 Jak oznaczyć matematycznie liczbę pierwszą?

wies: Zad1 w liczniku masz liczę parzystą

wies: p−liczba piersza

Saizou : Zadanie 1 nie jest jeszcze skończone, bo na razie nic nie pokazałeś, zrobiłeś tylko przekształcenia, a co dalej.

wies: liczę trzycyfrową mozna przedtawić tez np jako n=100a+b, gdzie b jest od 0 do 99, bedzie miej liter

PrzyszlyMakler: W zad. 1 powineinem był właśnie to tak dokończyć, ale hmm.. mam tkaie pytanko, bo przecież 0 to też liczba naturalna i podstawiając 0 mamy 1*1/4 = 1/4

Metis: Nie czepiaj się szczegółów.

Saizou : w zadaniu 1 po podstawieniu n=0 otrzymujesz 0, a jeśli mi wiadomo 0²=0

PrzyszlyMakler: No tak, pomyliło mi się z x⁰. Okej, no to zadanie pierwsze. Jak to skończyć aby formalnie było dobrze? Widzimy, że pierwszy nawias to liczba parzysta i drugi nawias to liczba parzysta. Każda liczba parzysta jest podzielna przez 2, a iloczyn dwóch liczb parzystych dzieli się przez 4, czyli to będzie liczba całkowita

wies: pierwsz parzysta i druga nieparzysta lub na odwrót w liczniku

Saizou : a czemu akurat pierwszy a nie drugi ?

	n(n+1)
...=(		)2
	2

n(n+1) jest liczba parzystą jako iloczyn liczby parzystej i nieparzystej, czyli jest podzielny przez 2,

	n(n+1)
zatem wyrażenie		jest całkowite. Kwadrat liczby całkowitej jest całkowity
	2

PrzyszlyMakler: I co mi to mówi? Muszę wykazać, że to kwadrat liczby naturalnej.

PrzyszlyMakler: Tyle rzeczy pozapominałem.. Zapomniałem, że to tak można super zapisać, że m²(m+1)²= [m(m+1)]² Rozumiem.

Jerzy: Trafna uwaga od wies

PrzyszlyMakler: zad. 4

	x2(3x2 −1)2
doszedłem do postaci 0≤		co kończy dowód, bo iloczyn kwadratów liczb jest
	6

zawsze nieujemny w 3 mi nie wychodzi... Da się to zrobićna przykładach, czy muszę próbować wyłączyć 12 z tych nawiasów? bo jakbym zroił, że m=12k, to nic by mi to nie udowodniło nie? Bym musiał dla 12 przypadków..

omikron: Wyłącz przed nawias co się da, oblicz deltę i miejsca zerowe, tak żebyś skończył z czterema iloczynami w liczniku ułamka. Potem udowodnij, że licznik jest podzielny przez 12

PrzyszlyMakler: zad. 3

(3m−5)
	m(m−1)(m−2)
12

No to mamy iloczyn trzech kolejnych liczb, co jest pewniakiem do tego, że liczba jest podzielna przez 6. Potrzebuję jeszcze podizelności przez 2 i muszę to uzyskać z tego: (3m−5).. robijać to na (2m + m − 4 − 1) ? To coś da?

PrzyszlyMakler: Albo (3m − 6 + 1), ale tą jedynkę wymnożyć przez całą resztę?

omikron: Są dwa przypadki. Albo m będzie parzyste, wtedy m−2 też, czyli jest podzielność przez 4 i koniec. Drugi przypadek to m−1 podzielne przez 2, czyli wtedy ma postać 2k m−1=2k m=2k+1 I teraz sprawdzamy czy 3m−5 jest parzyste. 3m−5=6k+3−5=6k−2=2(3k−1) Jest, koniec dowodu.

Saizou : albo tak jak chcesz zrobić, tylko w inna stronę, a mianowicie 3m−5=3m+3−8=3(m+1)−8 m(m−1)(m−2)(3m−5)=3m(m−1)(m−2)(m+1)−8m(m−1)(m−2) i teraz wnioski

PrzyszlyMakler: A dlaczego jak jest podzielnośc przez 4 to koniec? Mam wrażenie, że mam trop i rozumiem dlaczego i jak sobie podstawiam wymyślone liczby to wychodzi, ale chciałbym to od Ciebie usłyszeć taką 'naukową tezą'. Bo w sensie.. mamy podizelnośc przez 4, a do udowodnienia jest podzielność przez 12

omikron: To już uznałem że sam wypracowałeś, iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 3. Skoro jest podzielność przez 3 i 4, to liczba jest podzielna przez 12.

PrzyszlyMakler: No tak. A to od Saizou. Kompletnie nie wiem jakie wnioski. Wiem, że iloczyn czterech kolejnych liczb odjąć iloczyn trzech kolejnych liczb.

Saizou : Po kolei m(m−1)(m−2)(3m−5)=3m(m−1)(m−2)(m+1)−8m(m−1)(m−2) 3(m−2)(m−1)m(m+1) iloczyn 4 kolejnych liczb jest podzielny przez 4, pomnożony przez 3, jest podzielny przez 12 8m(m−1)(m−2) iloczyn 3 kolejnych liczb podzielny jest przez 6, pomnożony przez 8 jest podzielny przez 24, w szczególności przez 12 Różnica dwóch liczb podzielnych przez 12 jest podzielna przez 12

PrzyszlyMakler: 1. Liczba naturalna n jest co najmniej trzycyfrowa. Jeżeli pomiędzy cyfrę setek, a cyfrę dziesiatek tej liczby wpiszemy znak mnożenia, to po wykonaniu mnożenia otrzymamy połowę liczby n. Wyznacz wszystkie liczby n o tej własności 2. Wykaż, że każda liczba pierwsza, większa od 3, jest postaci 6n+1 lub 6n+5, gdzie n€N. 3. Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p, dla których p+4 jest kwadratem liczby naturalnej. Pomoże ktoś z 1 i 2? Nie rozumiem ich. Drugie.. widać, że tak jest, ale jak to wykazac w formie algebraicznej to nie mam pojęcia.

wies: zad 1 liczę trzycyfrową mozna przedtawić tez np jako n=100a+b, gdzie b jest od 0 do 99, bedzie miej liter

wies: Zad 2 6n+k, k od 0 do 5, to kazda liczba naturalna

Saizou : (2) Podpowiedź: każda liczba naturalna jest postaci: 6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k+5, gdzie k € N Pokaż dlaczego 6k, 6k+2, 6k+3, 6k+4 nie mogą być liczbami pierwszymi

wies: Zad 3 Przyjmij ze za liczbę naturalną n+2

Eta: @Maklera sprawdzenie: na rys Szukane liczby to : 360 lub 1352

Jerzy: Liczbę n mozemy przedstawić jako: n = 100a + b ( gdzie b jest jest liczbą co najwyżej dwucyfrową)

	1
Mamm warunek: a*b =		(100a + b)
	2

Przekszatałcamy: 2ab −100a − b + 50 = 50 ⇔ (2a − 1)(b −50) = 50 Liczba: 2a − 1 jest dodatnim i nieparzystem dzielnikiem liczby 50, a więc jest równa 1 lub 5 lub 25. 1) 2a − 1 = 1 , wtedy b − 50 = 50 ⇔ b = 100 ( odpada z założenia o b ) 2) 2a − 1 = 5 , wtedy b − 50 =10 ⇔ b = 60 i a = 3 3) 2a − 1 = 25,wtedy b − 50 = 2 ⇔ b = 52 i a = 13 Zatem istnieją dwie takie liczby: 360 oraz 1352.

Jerzy: Zad.2) każdą liczbę naturalna mozna zapisac jako: n = 6k + r ( r ∊ {0,1,2,3,4,5} , gdzie: k − liczba całkowita, r − reszta z dzielenia n przez r Jeśli: r = 0 lub r = 4 , to n = 6k + r jest parzyste ( nie moze być l.pierwszą) Jesli r = 3 , to n = 6k + r jest podzielne przez 3 (nie moze być l.pierwszą) zatem: r = 1 lub r = 5 , czyli: n = 6k + 1 lub n = 6k + 5 cnw.

Jerzy: tam jest literówka ... r − reszta z dzielenia liczby n przez 6 oczywiście

Jerzy: ...i jeszcze... miało byc: Jeśli: r = 0 lub r = 2 lub r = 4 , to n = 6k + r jest parzeste

uuu: Gratulacje Makler rozwiązałes sam wszystkie zadania

PrzyszlyMakler: Wczoraj padłem, sorki chłopaki, a dziś dopiero wszedłem do domu po robocie i jazdach. Rozpoczynam kolejny dzień walki o marzenia .Zadania numer 1 i 2 są jasne, choć1 jest niesamowicie trudne. Dzieki Jerzy i wszystkim pozostałym za rozwiązania, rzuciliście mnie trochę na zbyt głęboką wodę, ale może to i dobrze ; ) Zostało tylko to, rozwiążemy je i założę jakiś nowy post, jak nie będę czegoś umiał. Kupiłem dziś parę książek od osoby prywatnej. Na przykład "Matematyka JAN gÓROWSKI, aDAM Ł, Jan R, Rozwiązania zadań maturalnych 1994 − średnie szkoły zawodowe i oficynę edukacyjną dobra, to już się pochwaliłem wracamy do tego jednego zadania. 1. Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p, dla których p+4 jest kwadratem liczby naturalnej p + 4 = n² n ∊ N p = n² − 4 p = (n− 2 )(n+2) No i na pewno n musi być liczbą nieparzystą, bo inaczej iloczyn tych liczb byłby liczbą parzystą. Niestety nie wiem jak to dalej dokończyć.

fifi: czyli n−2 lub n+2 musi być równe 1

PrzyszlyMakler: Kretyn ze mnie, no tak. Jeju... Przecież iloczyny dwóch lcizb różnych od 1 nie dadzą liczby pierwszej.. <załamka> Dzięki! Oczywiście.

Eta:

Eta: Witam Następne zadanka ......... Zad1/ Wykaż,że liczba 555......5 1111.....1 40 40 piątek jedynek nie jest kwadratem liczby naturalnej zad2 podobne liczba 1000......0 3 000......0 1 99 99 zer zer nie jest kwadratem liczby naturalnej Zad3 Wykaż,że liczba 25a+3b gdzie a,b∊c jest podzielna przez 41 wtedy i tylko wtedy gdy liczba 3a+2b jest podzielna przez 41

Saizou : to jakie te wartości dla p

PrzyszlyMakler: p = (n−2)(n+2) n−2 = 1 n = 3 lub n + 2 = 1 n = −1 p = 3 lub −3

Saizou : p=−3

Eta: −3 −−− liczba pierwsza

PrzyszlyMakler: Hmmm.. Więc jeżeli −3 ma dzielnik 1, −1, 3 i −3 to już nie jest liczbą pierwszą? Nie widziałem!

Saizou : zresztą dla p=3 otrzymujemy 7 a to ni w ząb nie jest kwadrat liczby naturalnej

Saizou : Liczby pierwsze to liczby naturalne

PrzyszlyMakler: Bo ja podałem odpowiedź dla n, a nie p. Skrót myślowy. p + 4 = 3² p = 5 Dla p = 5

PrzyszlyMakler: A więc, sobie poszukam zależności. 1² = 1 2² = 4 3²=9 4²= 16 5²=25 6²=36 7²=49 8²=64 9²=81 10² = 100 11² = 121 12²=144 13² = 169 14²=196 15² = 225 No myślę, że mogę założyć, że jakaś liczba zakończona cyfrą 5 jest kwadratem liczby naturalnej wtedy i tylko wtedy, gdy spierwiastkowana ma ostatnią cyfrę 5. Czyli.. nasze.. 555......5 40 jedynek Spierwiastkowane musi mieć 5 na końcu. I teraz muszę udowodnić, że to niemożliwe by miało. Hmm.. Będę sobie głośno myślał. Podobną do tej liczby jest 515.. co bym mógł powiedzieć o 515? No, że nie jest kwadratem liczby naturalenej. Ale jak to udowodnić? Nie wiem.. chcę jakoś wykorzystać te jedynki.. nie wiem, bo 15 nie pierwiastkuje się?

PrzyszlyMakler: Aaa.. teraz przeczytałem to zadanie od Ety jeszcze raz i ta liczba jest dłuższą. To wait. 555......5 1111.....1 40 40 piątek jedynek

fifi: wzór na sume ciagu geometrycznego

Eta: fifi nie wyciągaj "armaty" !

Saizou : to ja dorzucę jeszcze zadanko Obliczyć wartość wyrażenia x=√2√2√2...

PrzyszlyMakler: Odnośnie zadania 3. Czy symbol wtedy i tylko wtedy oznacza, że liczba a jest podzielna przez 41 wtedy i tylko wtedy gdy b jest podzielna przez 41, ale to nie oznacza tego, że ZAWSZE gdy b jest podzielna przez 41 to a jest podizelna przez 41? Bo probuje cos wylapac.. robijam to sobie. np. 3a + 2b = 41k lub 25a + 3b = 3a + 3a + 3a + 3a +3a +3a +3a +3a + 2b + a + b lub szukałem na liczbach i podstawieniach i np. a = 7, b = 10 3a + 2b= 3*7 + 2*10 = 41, czyli podzielna przez 41 a 25a + 3b = 305 <− niepodzielna przez 41. A odnosnie tych liczb gąsiennic to nie ma szans bym to zrobił. Nic nie widzę tam.

Saizou : (1) ↔ (2) (strzałki czytamy jako wtedy i tylko wtedy gdy) To taka implikacja w dwie strony tzn. jeśli (1) to (2) i jeśli (2) to (1) w logice zapisuję się to tak (w rachunku zdań) p↔q ≡ (p→q) ∧ (q→p)

PrzyszlyMakler: Odnośnie zadania Saizou. x = √2√2... x² = 2√2√2.. x² = 2x x²−2x = 0 x(x−2)=0 x = 0 lub x=2

Saizou : dla tego zadania musisz pokazać że Skoro 41 dzieli 25a+3b to 3a+2b jest podzielne przez 41. i na odwrót Skoro 41 dzieli 3a+2b to 25a+3b jest podzielne przez 41

Saizou : x=0

PrzyszlyMakler: To dlaczego odnośnie zadania Ety, jeżeli 3a + 2b jest podzielne przez 41 to 25a + 3b nie jest. [A była taka teza]

PrzyszlyMakler: Hmm w sumie to ciekawe z tym x = 0, dlaczego tak wyszło?

Saizou : 25*7+10*3=205=41*5

PrzyszlyMakler: noo.. 41 dzieli 3a + 2b, jeżeli a =7, a b = 10. Ale nie dzieli 25a + 3b. Ale chyba rozumiem.. To bardziej dla tych 25a i 3b jest takim 'wyjściowym'.

PrzyszlyMakler: Hmm.. Skąd ja wziąłem 305? 2x lcizyłem na kalkulatorze i mi wychodziło 305. Przepraszam. :c

PrzyszlyMakler: A co z tym x=0, dlaczego to tak wyszło?

Saizou : taki dziwoląg ale informacja o √a dla a>0, mówi nam że wartośc tego wyrażenia jest >0

piotr: 7453559924999298988030578895770920784801²< <√55555555555555555555555555555555555555551111111111111111111111111111111111111111< <7453559924999298988030578895770920784802²

PrzyszlyMakler: piotr ciągle w formie. PS. Mój imiennik. XD Pomoże ktoś z tymi zadnaiami? Przedstawiłem próby. Nieudolne..

Saizou : proponuję spróbować coś takiego, a mianowicie zbadać reszty z dzielenia przez 3 kwadratów liczb

PrzyszlyMakler: 1:3 = 0 r 3 4 :3 = 1 r 1 9 : 3 = 3 r 0 16:3 = 5r 1 25:3 = 8r 1 49: 3= 16 r 1 64:3 = 21 r 1 81:3 = 27r 0 100:3 = 33 r 1 121:3 = 40 r 1 Przeprowadziłem badanie . Ogółem to super sprawa i dziwię się, że nigdy tego nie zauwazyłem. Dlaczego reszta nigdy nie jest równa 2? No dobra, ale co to dało dla mojego zadania? Niewiele to pomaga przy wykazywaniu podzielności 41

Saizou : A ja miałem o tych dwóch pierwszych zadaniach

Saizou : A tamto idzie bardzo łatwo z kongruencji

wi: Zad 1 i Zad 2 Policz sumy cyfr

wi: Zad 3 2(25a+ 3b) = 41a + 9a + 6b = ...

PrzyszlyMakler: Dobra, trochę nie czaję, ale już muszę kłaść się spać. Robota! Dziękuję Wam wszystkim, za pomoc i za to, że Wam się po prostu 'chce' . Dobrej nocy

Eta:

piotr: liczba 55555555555555555555555555555555555555551111111111111111111111111111111111111111 dzieli się przez 3 ale nie dzieli się przez 9 stąd wniosek, że nie jest kwadratem liczby naturalnej

uuuuu: ale Makler pojechał

piotr: zad 2 Ety (10¹⁰⁰+1)²<10²⁰⁰+3*10¹⁰⁰+1<(10¹⁰⁰+2)²

uuuuu: No Makler ale super rozwiązujesz

Paweł: Dzięki !

uuuuu: Teraz mozesz rozwiązywac już zadnia z forum