liczby zespolone potęgowanie Dominika: obliczyć: ( ^√3₂ − ¹ⁱ₂)⁴ zastosowałam wzór Moivera |z|= 1 cosγ= ^√3₂ sinγ= −¹₂ IV ćw. α= ^π₆ γ= ^11π₆ czy z= cos ^44π₆ + isin ^44π₆= cos(^{6π + 8π₆) + isin(u{6π + u{8π}₆)= cos(π+ ^π₃)+ isin(π+ ^π₃) ?

PrzyszlyMakler:

	1
Na przyszłość pisz duże 'U' wtedy jest czytelniej.
	2

Dominika: a mógłbyś mi to bardziej wyjaśnić? gdzie zrobiłam błąd itp.?

Godzio: Ja nie widzę żadnego błędu póki co.

Jack:

	√3		1
(		−		i)4
	2		2

	3		1
|z| = √(		+		) = √1 = 1
	4		4

	√3
cos φ =
	2

	1
sin φ = −
	2

IV ćwiartka.

	π		11
φ = 2π −		=		π
	6		6

	π
α =
	6

	√3		1		11		11		44		44
(		−		i)4=cos(4*		π + i sin(4*		π) = cos		π + i sin		π=
	2		2		6		6		6		6

	1		1		π		π
= cos(7		π + i sin 7		π) = cos((π +		) + i sin (π+		)) =
	3		3		3		3

	π		π		1		√3		1
= − cos		− i sin		= −		− i		= −		(1 + i√3)
	3		3		2		2		2

jc: Nie rozumiem. Moduł = 1, argument −30, jak podniesiemy do 4 potęgi, moduł nadal będzie = 1, a argument = −120, czyli będziemy mieli liczbę (−1 − i√3)/2.

jc: O co chodzi z tymi ćwiartkami?

Jack: no ze sinus ujemny a cosinus dodatni to czwarta cwiartka.

jc: I co z tego? Do czego na to potrzebne?

jc: To oczywiste, że na dole sinus jest ujemny, na górze dodatni, cosinus po prawej dodatni, po lewej ujemny, ale jaki to ma związek z potęgowaniem?

Jack: zeby wiedziec jak przedstawic kat φ... I cwiartka to α II cwiartka to π − α III cwiartka to π + α IV cwiartka to 2π − α dla tych co kompletnie nie wiedza oco chodzi to moze sie przydaje...

jc: Czyli co mam zrobić, jeśli φ = 11/7 π ?

Jack: wlasnie ten kat φ bierzesz zaleznie od cwiartki dla IV cwiartki mamy φ = 2π − α wiec teraz szukamy α, a ją z kolei bierzemy z wartosci trygonometrycznych funkcji

	π
czyli sin = 1/2 , cos = √3/2 dla kata α = 30 stopni =
	6

jc: Ale przecież to konkretny kąt. Jak mogę go brać w zależności od ćwiartki? I co to ma wspólnego z potęgowaniem?

Jack: no bo potem podstawiasz do wzoru de Moivre'a i tyle...

Adam: potęguje sie łatwiej w tej postaci po prostu

jc: Ale do wzoru podstawiam kąt, który znam. Co to ma wspólnego z kątem, który zależy od ćwiartek?

Jack: chyba nie jestem w stanie odpowiedziec Ci na te pytania (jeszcze)

jc: Zapewne jest to jakiś schemat, którego uczą teraz w szkole.

Jack: tak, to jest taki schemat ; x