Rownanie stopnia trzeciego 6latek: Mamy takie rownanie az³+bz²+cz+d=0 Starm sie je doprowadzic do postaci x³+px+q=0 Dzielimy obie strony przez a bo a≠0 i dostajemy

	b		c		d
z3+		z2+		z+		=0
	a		a		a

Zgodnie z tw o pierwiastku wielomianu robie podstawienie

	b
z=x−		w tym konkretnym przypadku
	3a

dostaje

b

b

b

c

b

d

(x−

)3+

(x−

)2+

(x−

)+

=0

3a

a

3a

a

3a

a

Porzadkuje to i mam

b

b2

b3

b

b2

b3

x3−3*

x2+3*

x−

+ (

x2−2

x+

)+

3a

9a2

27a3

a

3a2

9a3

	c		bc		d
+(		x−		)+		=0
	a		3a2		a

	b
Teraz mam problem bo wyrazy ktore zawieraj x2 sa dwa czyli ( −3		x2 ) i
	3a

	b
(+		x2 ) i widac z eroznia sie znakami
	a

A zatem w rownaniu ktore otrzymalem powyzej wspolczynnik przy kwadracie niewadomej x jest rowny zero (0) tak twierdzi autor .

maciu: gdybym wiedział jak to zrobić to bym pomógł

6latek: Dobrze juz widze dlaczego

	b		b
−3		x2= −		x2 ale zacmienie
	3a		a

Jack: dlaczego dzielisz obustronnie przez a? wystarczy odrazu zrobic podstawienie

	b
z = x −
	3a

6latek: czesc Mozna tak zrobic od razu ale wygodniej mi bylo to policzyc

Jack: no hej ok, kazdy sposob dobry, byleby byl poprawny

6latek:

b2

2b2

c

b2

3ac

3ac−b2

To teraz x(

−

+

)= x(−

+

=

3a2

3a2

a

3a2

3a2

3a2

=p

−b3		b3		bc		d
	+		−		+		=q
27a3		9a3		3a2		a

−b3		3b3		9abc		27a2d		2b3−9abc+27a2d
	+		−		+		=		=q
27a3		27a3		27a3		27a3		27a3

czyli dostaniemy takie rownanie

	−b2+3ac		2b3−9abc+27a2d
x3+		x +		=0
	3a2		27a3

Ale troche przykro liczyc z takich wzorow p i q ? Wie lepiej robic podstawienie wedlug mnie

Mariusz: Prędzej czy później i tak by musiał podzielić przez a jeśli chce sprowadzić do żądanej postaci To podstawienie wynika akurat z wzoru skróconego mnożenia czy jak kto woli z dwumianu Newtona Można je zrealizować z użyciem schematu Hornera

6latek: Witaj dobrze ze sie odewales . Zrobie sobie kawe i zadam Ci pytanie

6latek: Otoz Ja dojde to tego podstawienia ze wzorami Vieta ale najpierw musze poznac wzory Cardano Jednak tez nie o to chcialbym Cie zapytac Chcialbym Cie zapytac o taka sprawe Jesli mamy np z³+6z²+2z−1=0 to robimy latwe i przyjemne podstawienie

	6
z=x−		= x−2
	3

A jesli bedziemy mieli np tak 3z³+12z²+4z−5x−3=0 No to wedlug tego musielibysmy zrobic podstawienie

	12		4
z=x−		=x−		i teraz
	9		3

tak

	4		4		4
3(x−		)3+12(x−		)2+4(x−		)−3=0
	3		3		3

I to uporzadkowac dopiero Wymyslilem go teraz i wyjdzie troche nieladny do liczenia ale chodzi o zasade

Mariusz: Tak oto chodzi ale można też w ten sposób 3 12 4 −3 −4/3 3 8 −20/3 53/9 3 4 −12 3 0 3 (Kilkakrotnie zastosowałem schemat Hornera)

	4		4		53
3z3+12z2+4z−3=3(z+		)3−12(z+		)+
	3		3		9

6latek: dobrze dziekuje

Mariusz: Spójrz na wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy (x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³ Widzimy że aby wyraz z x² nam się wyzerował musi być

	b
3x2y=−		x2
	a

6latek: Tak . zrozumialem

Mariusz: Co do tego drugiego podstawienia x=u+v to nie wyczytałem skąd się ono wzięło Pozwala ono jednak przekształcić równanie w układ równań będący wzorami Vieta dla równania o stopień niższego (tutaj kwadratowego) Jeżeli nie mieliśmy liczb zespolonych to możemy skorzystać z trygonometrii (chociaż nie jest to sposób stricte algebraiczny wykorzystujący pierwiastniki) cos(α+β)=cos(α)cos(β)−sin(α)sin(β) sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β) cos(α+α)=cos²(α)−sin²(α)=cos²(α)−(1−cos²(α)) cos(2α)=2cos²(α)−1 sin(α+α)=sin(α)cos(α)+cos(α)sin(α) sin(2α)=2sin(α)cos(α) cos(α+2α)=cos(α)cos(2α)−sin(α)sin(2α) cos(3α)=cos(α)(2cos²(α)−1)−sin(α)2sin(α)cos(α) cos(3α)=2cos³(α)−cos(α)−2cos(α)(1−cos²(α)) cos(3α)=4cos³(α)−3cos(α)

6latek: Mariusz teraz chodzi o praktyke Jesli mam np takie rownanie x³+x+2=0 Tutaj widze ze jednym z pierwiastkow tego rownania bedzie x=−1 (przyjmuje x₃=−1 wiec ze wzorow Vieta dla rownania stpnia trzeciego piszse x₁+x₂−1=0 x₁*x₂*(−1)=−2 stad mam x₁+x₂=−1 x₁*x₂= 2 Czyli x₁ i x₂ sa pierwiastkami rownania x²−x+2=0 Δ= −7 √−7= ±i√7

	1+i√7		1−i√7
x1=		x2=		i po zawodach
	2		2

A jak nie znajdziemy wprost dzielnika wyrazu wolnego ?

6latek: Oczywiscie x₁+x₂=1

Mariusz: Jeżeli uda ci się zgadnąć pierwiastek to zamiast dzielić przez dwumian możesz skorzystać ze wzorów Vieta

Mariusz: Jak nie znajdziesz dzielnika wyrazu wolnego to podstawiasz x=u+v U Jana Śniadeckiego widziałem takie podejście x³+x+2=0 x³=−x−2 x³+3x²y+3xy²+y³=3x²y+3xy²+y³−x−2 (x+y)³=x(3xy+3y²−1)+y³−2 3xy+3y²−1=0 3xy+3y²=1 3y(x+y)=1

	1
x+y=
	3y

	1
(		)3=y3−2
	3y

1
	=y3−2
27y3

	1
y6−2y3−		=0
	27

	28
(y3−1)2−		=0
	27

	28
(y3−1)2−		=0
	27

	84
(y3−1)2−		=0
	81

	2√21		2√21
(y3−1−		)(y3−1+		)=0
	9		9

	9+2√21		9−2√21
(y3−		)(y3−		)=0
	9		9

	27+6√21		27−6√21
(y3−		)(y3−		)=0
	27		27

	1
y=		3√27+6√21
	3

	1
x+y=
	3√27+6√21

	1
x=−y+
	3√27+6√21

	1		3
x=−		(3√27+6√21−		)
	3		3√27+6√21

Mariusz: Jak lubisz starocie to tutaj jest książka Jana Śniadeckiego http://bcpw.bg.pw.edu.pl/dlibra/docmetadata?id=1342

Mariusz:

	1		3+√21		6
x=−		(		−		)
	3		2		3+√21

	1		3+√21		3−√21
x=−		(		−6		)
	3		2		9−21

	1		3+√21		3−√21
x=−		(		+		)
	3		2		2

	1
x=−		(3)
	3

x=−1

6latek: Mariusz Dziekuje za wpisy i poswiecony czas Ja to sobie przeanalizuje . Pomagalem maturzyscie i dlatego nie zajmowalem sie tym

Mariusz: Jak sobie ściągniesz tę książkę to stwórz sobie katalog do którego ją wypakujesz (każda strona jest w oddzielnym pliku djvu) Vaxowi dałem do poczytania rozdział książki Wacława Sierpińskiego http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf a następnie przeanalizowaliśmy go najpierw na PW a później na gg