Znajdź pierwiastki równania roberts: x⁴−x³−8x−8=0 Bardzo proszę o pomoc bo mam chyba jakieś zaćmienie!

uuu: trudny przykład, nie ma łatwych medod w tym wypadku

::: A może takie jest to równanie: x⁴+x³−8x−8=0 ?

Jerzy: Albo: x⁴ − x³ −8x + 8 ... w obu przypadkach banał

uuu: no moze nie banał w wyjsciowym

Jerzy: w wyjściowym, oczywiście nie

roberts: Kochani! Gdyby były inne znaki (plusy tak jak zaznaczyliście) nie zawracałbym nikomu głowy! Problem polega jednak na tym, że znaki są wszędzie ujemne oprócz pierwszego składnika!

roberts: Widzę, że nie ma pomysłów! No,... ja niestety też nie bardzo widzę rozwiązanie choć próbowałem już różnych kombinacji! Mimo wszystko może ktoś pomoże?

Dziadek Mróz: http://www.symbolab.com

Mariusz: x⁴−x³−8x−8=0 Sprowadźmy ten wielomian do różnicy kwadratów a później do iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych Przekształćmy trochę to równanie korzystając z wzorów skróconego mnożenia (x⁴−x³)−(8x+8)=0

	x2		x2
(x4−x3+		)−(		+8x+8)=0
	4		4

	x		x2
(x2−		)2−(		+8x+8)=0
	2		4

Zauważ że wielomian w lewym nawiasie jest już kwadratem zupełnym a wielomian w prawym nawiasie jest trójmianem kwadratowym Trójmian kwadratowy jest kwadratem zupełnym gdy jego wyróżnik jest równy zero

	1
Δ=64−(4)(8)		=64−8=56≠0
	4

Musimy zatem wprowadzić nową zmienną aby uzależnić od niej wyróżnik trójmianu kwadratowego w prawym nawiasie Wprowadzamy nową zmienną tak aby wielomian w lewym nawiasie nadal był kwadratem zupełnym Znowu korzystamy z wzorów skróconego mnożenia

	x		y		1		1		y2
(x2−		+		)2−((y+		)x2+(−		y+8)x+		+8)=0
	2		2		4		2		4

Teraz policzmy wyróżnik trójmianu kwadratowego w prawym nawiasie

	y2		1		1
4(		+8)(y+		)−(−		y+8)2=0
	4		4		2

	1		1
(y2+32)(y+		)−(		y2−8y+64)=0
	4		4

	1		1
y3+		y2+32y+8−		y2+8y−64=0
	4		4

y³+40y−56=0 y=u+v (u+v)³+40(u+v)−56=0 u³+3u²v+3uv²+v³+40(u+v)−56=0

	40
u3+v3−56+3(u+v)(uv+		)=0
	3

u³+v³−56=0

	40
3(u+v)(uv+		)=0
	3

u³+v³=56

	40
uv+		=0
	3

u³+v³=56

	40
uv=−
	3

u³+v³=56

	64000
u3v3=−
	27

Ten układ to wzory Vieta dla równania kwadratowego o pierwiastkach u³ oraz v³

	64000
t2−56t−		=0
	27

	64000		21168
(t−28)2−		−		=0
	27		27

	85168
(t−28)2−		=0
	27

	255504
(t−28)2−
	81

	252−√255504		252+√193296
(t−		)(t−		)=0
	9		9

	756−3√255504		756+3√255504
(t−		)(t−		)=0
	27		27

	756−3√255504
u3=
	27

	756+3√255504
v3=
	27

	1
y=		(3√756−3√255504+3√756+3√255504)
	3

Wystarczy nam jeden pierwiastek równania trzeciego stopnia

	x		y		1		1   (− y+8)   2
(x2−		+		)2−(√(y+		))2(x+		)2=0
	2		2		4		1   2((y+ ))   4

	1		1		y		1   (− y+8)   2
(x2−(		+√(y+		))x+		−		)
	2		4		2		1   2√y+   4

	1		1		y		1   (− y+8)   2
(x2−(		−√(y+		))x+		+		)=0
	2		4		2		1   2√y+   4

Mariusz: To co Dziadek proponuje to rozwiązanie przybliżone poza tym musisz mieć dostęp do sieci Można też użyć współczynników nieoznaczonych Zapisujesz wtedy wielomian w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych i porównujesz współczynniki Ten pomysł może jednak wymagać więcej obliczeń Obliczenia można jednak skrócić rugując wyraz x³ z równania oraz wyodrębniając równanie dwukwadratowe Rozwiązanie równania trzeciego stopnia może być wyrażone przez zespolone pierwiastniki albo przez funkcje trygonometryczne Jest jeszcze metoda związana z funkcjami symetrycznymi ale wymaga ona zwykle więcej obliczeń