Udowodnij, że dla każdego a,b,c,d > 0 prawdziwa jest nierówność: Mike:

a+b+c+d
	≥ 4√abcd
4

Metis: Twierdzenie o średnich

jc:

	a+b
√ab ≤		= x
	2

	c+d
√cd ≤		= y
	2

Mnożymy stronami

	a+b		c+d
√abcd ≤				= xy
	2		2

Pierwiastkujemy stronami

	x+y		a+b+c+d
4√abcd = √xy ≤		=
	2		4

Mila: 1) a,b,c,d>0

	a+b
(√a−√b)2≥0⇔a+b≥2√a*b⇔		≥√a*b
	2

	c+d
(√c−√d)2⇔		≥√c*d
	2

	√a*b+√c*d		a+b   c+d   + 2   2		a+b+c+d
4√a*b*c*d=√√a*b*√c*d≤		<		=
	2		2		4

cnw

Mike: Siedzę już na tym zadaniem trochę i dalej nie rozumie. Widzę ze jest tu zaleznośc miedzy srednią arytmetyczną a geometryczną. Zeby udowodnić ze ta zaleznośc jest prawdziwa nie trzeba jej czasem przedstawić w postaci ≥0 ? Skąd się wzięło, np to (√a−√b)² ? Mozę mi ktoś to po kolei wytłumaczyć ?

jc: Zostało napisane. Po prostu, jak wyjdziemy z nierówności (√a −√a)² ≥ 0, dojdziemy do nierówności (a+b)/2 ≥ √ab. Skąd wiemy? Nie wiem, skąd wiem, a tym bardziej skąd wie Mila. Można próbować, można się cofać, może gdzieś widzieliśmy, a może to sprawa doświadczenia?

Mila: Mike, to jest oczywista oczywistość, że dla dowolnych dodatnich x,y (x−y)²≥0 Ponieważ masz a, b,c ,d dodatnie to istnieje z nich pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia, zatem prawdą jest, że : (√a−√b)²≥0 Korzystając z tego dowodzimy ...

jc: Chodziło o to skąd wiemy, z czego wyjść. Za dużo by o tym pisać ... Jedna sprawa to zapisany dowód, a druga to droga, która doprowadziła nas do rozwiązania. Droga ta nie zawsze ujawnia się w dowodzie.

Mariusz: Z wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy wiesz że po podniesieniu do kwadratu dostaniesz różnicę sumy i iloczynu