Udowodnić Ola: Udowodnić Że zbiór liczb niewymiernych jest gęsty i nieprzeliczalny, Pomóżcie

jc: Gdyby zbiór liczb niewymiernych był przeliczalny, to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych byłby przeliczalny, gdyż byłby sumą dwóch zbiorów przliczalnych (zbiór liczb wymiernych lest przeliczany). Pomiędzy dwiema dowolnymi liczbami niewymiernymi znajdziemy liczbę niewymierną (to dowodzi gęstości).

b.: > Pomiędzy dwiema dowolnymi liczbami niewymiernymi znajdziemy liczbę niewymierną (to dowodzi gęstości). Hmm zależy, co Ola rozumie przez gęsty. Może gęsty w R? Wtedy dowód jak wyżej nie jest odpowiedni.

jc: Masz rację, miało być "pomiędzy dwiema liczbami rzeczywistymi ... "

jc: Myślę, że chodzi o pokazanie, że R−Q jest gęsty w R, czyli w dowolnym otoczeniu każdej liczby znajdziemy liczbę niewymierną. Stawiam na własność Archimedesa, nawet jeśli można prościej.

Ola: Tak chodziło mi o gęstość w zbiorze liczb rzeczywistych

jc: Może tak. Niech ε>0, i r ∊ R, r> 0, √2/n < ε dla odpowiednio dużego całkowitego dodatniego n. k √2/n > r dla odpowiednio dużego całkowitego dodatniego k. Niech k będzie najmniejszą taką liczbą. Wtedy (k−1)√2 /n ≤ r < k√2 /n, a więc 0 < k√2 /n − r < ε. Oczywiście liczba k√2 /n jest niewymierna. O, nawet zbiór √2Q jest gęsty w R