Liczby rzeczywsite - dowód
lepus: Wykaż, że suma największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch
dowolnych liczb naturalnych dodatniej jest nie mniejsza niż suma tych liczb.
19 lip 22:49
zombi: Nie zbyt ładny dowód, bo wymyślałem na szybko.
| | ab | |
Niech d = NWD(a,b). Wykorzystamy dodatkowo tożsamość |
| = NWW(a,b). |
| | NWD(a,b) | |
Wówczas a = a
1d i b = b
1d.
Załóżmy nie wprost, że NWD(a,b) + NWW(a,b) < a + b
Wtedy
(powstawiałem gdzie się da a = a
1d i b = b
1d i wykorzystałem tożsamość)
Zatem d(1+a1
b1) < d(a
1 + b
1) ⇔ 1+a
1b
1 < a
1 + b
1. Przekształcamy do postaci
(a
1−1)(1−b
1) > 0
Jawna sprzeczność, bo a
1,b
1 ≥ 1. Koniec dowodu.
20 lip 01:38
lepus: Dziękuję
21 lip 23:05
Saizou :
można wprost z definicji, napisz co to jest nwd(a,b) oraz nww(a,b), potem dodaj
i ewentualnie "wyłuskaj" co potrzebujesz.
21 lip 23:14