Rownania stopnia czwartego 6latek: Napisz rownanie stopnia czwartego ktorego pierwiastkami sa liczby a) 1−i, 1+i, 1−i√3,1+i√3 b) −4i, 4i ,0, (−2) c)(√5−1)+i√10+√20 (√5−1)−i√10+√20 d) (−√5−1)+i√10−p[20} (−√5−1)−i√10−√20) Wskazowka . Zsastosuj wzory Viete'a do obliczenia wspolczynnikow trojmianow kwadratowych ktorych pierwiastki sa danymi liczbami sprzezonymi

Saizou : Robisz dokładnie to samo co z liczbami rzeczywistymi, czyli zapisujesz w postaci iloczynowej i sprytnie mnożysz, tzn pierwiastki sprzężone przez siebie

6latek: Np do a) jest taka odpowiedz x⁴−4x³+10x²−12x+8=0

Janek191: ( x − 1 + i)*( x − 1 − i)*( x − 1 + i√3)*(x − 1 − i √3) = 0

6latek: Mozesz to pokazac na przykladzie a)? (x−(1−i)) (x−(1+i))(x−(1−i√3)(x−(1+i√3)= =(x−1+i)(x−1−i)(x−1+i√3)(x−1−i√3}) = ?

zef: zapisz iloczyn tych pierwiastków w postaci (x−a) gdzie a to te pierwiastki czyli: (1−i) , (1+i) itd.

6latek: z*z^*= |z|² Jak to wykorzystac ? Dlaczego wzory Vieta ? Jak je wykorzystac?

Saizou : Wzory Viete'a dla równania kwadratowego w postaci ax²+bx+c

	−b
x1+x2=
	a

	c
x1•z2=
	a

gdzie x₁, x₂ to pierwiastki mając pierwiastki zespolone sprzężone x₁=m+ni, x₂=m−ni mamy

	−b
x1+x2=2m=
	a

	c
x1•x2=(m+ni)(m−ni)=m2+n2=
	a

wiec bez problemu otrzymujesz c oraz b co więcej możesz przyjąć że a=1 (wtedy wybierasz tylko te wielomiany w współczynniku a=1)

6latek: mamy tak

	b
x1+x2= −
	a

	c
x1*x2=		czyli
	a

(1−i)+(1+i)=2 (1−i)(1+i)= 1−i²=2 Wobec tego pierwiastki 1−i , 1+i sa rozwiazaniem rownania x²−2x+2 =0 1−i√3+1+i√3=2 czyli b=−2 (1−i√3)(1+i√3)= 4 czyli c=4 Te pierwiastki sa rozwiazaniem rownnia x²−2x+4=0 (x²−2x+2)(x²−2x+4)= x⁴−4x³+10x²−12x+8 =0 Czy o to chodzilo?

6latek: Post wyzej potwierdza . Dzieki Saizou za zainteresowanie

Mila: Wymnóż po kolei. (1−i)*(1+i)=1²−i²=1+1=2 (1−√3i)*(1+√3i)=1−3i²=4 [(x−(1−i)) *(x−(1+i))]*[(x−(1−i√3)*(x−(1+i√3)]=0 [x²−(1+i)x−(1−i)x+2]*[x²−(1+√3i)x−(1−√3i)x+4]=0⇔ (x²−2x+2)*(x²−2x+4)=0

6latek: Dziekuje CI rowniez Jutro juz zrobie c i d Beda tutaj co z tego widze pierwiastki podwojne wiec bede liczyl (x−x₁)²(x−x₂)²

Mila: Ładnie to zrobiłeś z wzorów Viete'a. . Nie zauważyłam, że takie było polecenie.

ICSP: (x − a −bi)(x − a + bi) = (x − a)² − (bi)² = x² − 2ax + a² + b² = x² − 2ax + a² + b²