calki nieoznaczone, pomoze ktos? imm: oblicz calki nieoznaczone a)∫(x²+2x+1) dx / (x−1)² * (x² + 1) b)∫(lnx)² dx / (−2x⁵)

jc: Jesteś pewny, że chcesz liczyć całkę ∫(x²+2x+1)(x²+1) / (x−1)² dx ? Jeśli tak, to podstaw x=y+1 i scałkuj wyraz po wyrazie (nic trudnego).

imm: nie, x²+1 jest tez w mianowniku

jc:

	1
∫ (ln x)2 x−5 dx = −		∫(ln x)2 (x−4) ' dx =
	4

	1		1
−		(ln x)2 x−4 +		∫ (ln x) x−5 dx =
	4		2

	1		1
−		(ln x)2 x−4 −		∫ (ln x) (x−4) ' dx =
	4		8

	1		1		1
−		(ln x)2 x−4 −		(ln x) x−4 +		∫x−5 dx =
	4		8		8

	1		1		1
−		(ln x)2 x−4 −		(ln x) x−4 −		x−4
	4		8		32

Sprawdź

imm: a gdzie jest dwójka z mianownika? bo cos mi nie wychodzi

jc: Bierzesz się za całkowanie, a masz braki z podstawówki (nawiasy, kolejność działań)

x2 + 2x +1		A		Bx+C
	=		+
(x−1)(x2+1)		x−1		x2+1

A+B=1 C−B=2 A−C=1 Dodajesz stronami. 2A=4, A=2, B= −1, C= 1.

	x2 + 2x +1		2		− x + 1
∫		dx = ∫ (		+		) dx
	(x−1)(x2+1)		x−1		x2+1

	1
= 2 ln |x−1| −		ln (x2+1) + arctg x Sprawdź
	2

jc: Przecież dwójkę możesz sobie sam dopisać.

jc: Minus też sam możesz dopisać Nie przeszkadzają Ci w rachunkach takie dodatki, jak dwójka i minus?

Jerzy: Coś mi się wydaje,że pierwsza całka jest nieco inna

jc: Faktycznie, jest (x−1)², a ja przepisałem (x−1). To nawet lepiej, wynik jest prostszy

	2x
∫ = − arctg(x) −
	x−1

Jerzy: Nie czepiam się, ale dopisz stałą

jc: Uzupełnię rachunek.

x2+2x+1		2		1
	=		−
(x−1)2(x2+1)		(x−1)2		x2+1

	x2+2x+1		2		1
∫		dx = ∫ [		−		] dx
	(x−1)2(x2+1)		(x−1)2		x2+1

	2
= −		− arctg x
	x−1

Teraz rozumiem Twoją uwagę

Jerzy: Chodziło mi raczej o to , aby na końcu dopisać stałą C , o której często studenci zpominają

jc: Ja konsekwentenie nie piszę stałej, dopisuję dopiero, kiedy jest potrzebna. Po symbolu całki nieoznaczonej piszę po prostu jedną z wielu funkcji pierwotnych. Pewnie nawet nie wiesz, jakie niestworzone prawa arytmetyki studenci wymyślają, jak wiele funkcji okazuje się funkcjami liniowymi, ile nowych wzorów ...

zet: w mianowniku jest (x−1)² * (x² + 1) więc będzie A,B,C,D bo (A/x−1)+ (B/(x−1)²)+ (Cx+D/x²+1)

Jerzy: @zef ... a po co rozkład na ułamki proste ?

jc: @zet, rozkład na ułamki proste znajdziesz w moim wspisie z 12:42. Kwadrat w mianowniku sprawił, że od razu można było napisać wynik. Notacja ( a + b / c + d ) w miejsce (a+b)/(c+d) może nie jest taka zła, ale jest niezgodna z przyjętymi w matematyce i programowaniu zwyczajami. Czy na prawdę uczniowie nie wykorzystują komputerów do matematyki, choćby do rysowania wykresów? Latex dopuszcza dwie formy: \frac{a+b}{c+d}, {a+b \over c+d}.