g: Funkcja f(x) = x
2011−x! najpierw rośnie, dla x=x
0 osiąga maksimum, a potem szybko
maleje. Jeśli f(x) = f(y) dla x≠y, to musi być x<x
0 i y>x
0 (lub odwrotnie).
Wychodzi mi że f(x) tak szybko maleje, że już f(x
0+1) < 0. Czyli że nie istnieje liczba
y>x
0 dla której f(y)>0.
Dowód używa przybliżonych równości, więc nie jestem pewien poprawności.
x! ≈ e
φ(x) φ(x) = (x+
12) * [ln(x+
12) −1] −
32[ln
32 − 1]
φ ' = ln(x+
12)
(x!)' = x! * ln(x+
12)
Warunek maksimum: ln( (x
0!)' ) = ln( x
02011 ' )
φ(x
0) + ln(ln(x
0+
12)) = ln 2011 + 2010 ln x
0
| | x0 | |
φ(x0) = 2011 ln x0 − [ln( |
| ) + ln(ln(x0+12))] (równanie 1) |
| | 2011 | |
x
0 ≈ 2300
Warunek f(x
1) ≤ 0
φ(x
1) ≥ 2011 ln x
1 (równanie 2)
Teraz sprawdzam czy f(x
0+1) spełnia warunek (równ.2).
W stosunku do równ.1 lewa strona wzrasta o ln(x
0+
12) ≈ 7,7
| | x0 | |
Prawa strona wzrasta o 2011/x0 + [ln( |
| ) + ln(ln(x0+12))] ≈ 3 |
| | 2011 | |
Zatem warunek jest spełniony.