całka t: Oblicz całkę podwójną ln(x²+y²) gdzie D jest pierscieniem kołowym 1≤x²+y²≤4

Jerzy: Przejdź na współrzędne biegunowe i określ granice całkowania ( zakres r i kąta φ )

Jerzy: Masz: 0 ≤ φ ≤ 2π 1 ≤ r ≤ 2 = ∫∫ln(r²)*rdφdr ..... i licz

t: 1≤r≤2 0≤φ≤2π (lnr²α+r²sin²αrdr)dφ wiem,że z sinusa i cosinusa robić jedynkę trygonometryczną, ale nie wiem jak dalej lczyc

Jerzy:

	1
a całkę licz przez podstawienie: r2 = t , 2rdr = dt , rdr =		dt
	2

Leszek: Zastosuj wspolrzedne biegunowe x=r*cos α y=r*sinα J=r ,jakobian ∫ ∫ r*ln(r)dr D. r od 1 do 2 ; α od 0 do 2π =2π*∫ r*ln(r) dr = Ta calke calkujemy przez czesci

Jerzy: Leszku: ln(r²)

Leszek: Blad drukarski ,powinno byc ln(r²)

Jerzy: Lepsze podstawienie: r² = t

t: czyli bedzie 1/2 ∫lntdt ?

Jerzy: Tak .... i pamietaj,że ta całka jest w granicach: [1,4]

Jerzy: no i tą całkę już liczysz przez części

Jerzy: Wynik: π(4ln4 − 3)

t: (1/2 *4 ln4−4)− 1/2ln1−1 cos takiego z tej pierwszej całki?

Jerzy:

	1		1
Po pierwzym całkowaniu masz:		[tlnt − t]14 =		[4ln4 − 4 − (0 −1)] =
	2		2

	1
=		(4ln4 − 3)
	2

	1		1
i teraz:		0∫2π(4ln4−3)dφ =		[(4ln4 − 3)*φ]02π =
	2		2

1
	*2π(4ln4 −3) = π(4ln4 − 3)
2

Jerzy:

1		1
	∫lntdt =		(tlnt − t)
2		2

Jerzy:

	1		1
Miałeś prawie dobrze: .. =		*(4ln4 − 4) −		(ln1 − 1)
	2		2

	1		1		1		1
=		*(4ln4 − 4) −		(0 − 1) =		(4ln4 − 4 +1) =		(4ln4 − 3)
	2		2		2		2

Jerzy:

	256
Wynik możesz też zapisać tak: πln
	e3