Równanie różniczkowe Clairauta Gosia: Witam. Mam do rozwiązania takie równanie: y=xy'+√1+y' y'=y'+xy''+ ^y''_2√1+y' y''(x+¹_2√1+y')=0 1) y''=0 −> y=Cx+√1+C²

	⎧	x+12√1+y'=0
2)	⎩	y=xy'+√1+y'

Z pierwszego równania otrzymałam: x=⁻¹_2√1+y' −> x<0 y'=¹_4x²−1 Podstawiając do drugiego otrzymałam: y=^−1−4x2_4x Podstawiłam tą odpowiedź do danego równania, narysowałam wykres lewej i prawej strony i wyszło mi, że te wykresy się pokryły tylko właśnie dla x<0. Czy to jest dobrze? W książce odpowiedź jest: x²+y²=1

piotr:

	−4 x2+1
y(x) =		+ √(−4 x2+1)/(4 x2)+1 lub y(x) = √c1+1+c1 x
	4 x

Gosia: To jest ostateczna odpowiedź? Nie rozumiem czemu moją funkcję podstawiłeś do danego równania.

Gosia: Czy ktoś mógłby sprawdzić jeszcze raz ten przykład i podać gdzie jest błąd? Albo chociaż poprawną odpowiedź?

piotr1973: skoro wyznaczyłaś pochodną y', to co stoi na przeszkodzie by ją wstawić do zadanego równania? to ostateczne rozwiązania

Gosia: A wynikiem nie jest po prostu całka osobliwa y=^−1−4x2_4x? I czy to rozwiązanie jest dobrze, bo jak widać różni się od wyniku z książki? Czy do tego przykładu potrzebne są jakieś dodatkowe założenia? Czy wystarczy założenie: x<0?

jc: Rozwiązanie z książki nie jest rozwiązaniem

piotr1973: http://www.math.us.edu.pl/plewik/Inne%20opracowania/Strona/XV.pdf

Gosia: Właśnie zorientowałam się, że równanie x²+y²=1 to jakaś bzdura jest. Co danego linku to już czytałam ten pdf. Jak wszystkie inne z 3 pierwszych stron google i wiele innych. W sumie w każdym jest napisane dokładnie to samo, ale mniejsza z tym. Zrobiłam wszystko jak jest w "instrukcji", więc nie wiem co masz na myśli Piotrze z tym pdf'em. Czy przeczytałeś mój pierwszy post? Tam krok po kroku przedstawiłam swoje rozwiązanie danego równania i chcę po prostu wiedzieć czy odpowiedź: całka ogólna: y=cx+√c²+1 oraz całka osobliwa: y=^−1−4x2_4x jest dobrze, czy gdzieś popełniłam błąd? A jeśli tak to gdzie?

piotr: "Podstawiając do drugiego otrzymałam" opuściłaś pierwiastek a przecież √1/x² ≠ 1/x lecz √1/x² = |1/x|

Gosia: Właśnie uwzględniłam to co napisałeś wyżej. Skoro x+¹_2√1+y'=0 x=⁻¹_2√1+y' √1+y'=⁻¹_2x (*) 1+y'=¹_4x² y'=¹_4x²−1 I teraz faktycznie jeśli do drugiego równania, czyli: y=xy'+√1+y' podstawimy y'=¹_4x²−1 mamy: y=x(¹_4x²−1)+√1+¹_4x²−1=¹_4x−x+√¹_4x²=¹_4x−x+|¹_2x|= ¹_4x−x−¹_2x Zdjęłam tą wartość bezwzględną w taki sposób, ponieważ doszłam do wniosku, że z równania x=⁻¹_2√1+y' wynika, że x<0 (jeśli jesteśmy w liczbach rzeczywistych to pierwiastek kwadratowy nigdy nie będzie ujemny, więc żeby otrzymać równość to właśnie x musi być ujemny). Swoją drogą nie widzę przeciwwskazań, żeby za √1+y' podstawić od razu −¹_2x co wynika z (*). Czy gdzieś jest błąd w moim rozumowaniu?

Jerzy:

	1
Skoro: y' =		− 1 , to dlaczego nie możesz od razu policzyć y ?
	4x2

Jerzy: Teraz widzę,ze masz żle liczone od samego początku:

	y'y"
y' = y' + xy"+
	√1 + y'2

Jerzy: Dalej masz:

	y'		y'2		x2
x +		= 0 ⇔ x2 =		⇔ y' = +/− √
	√1+y'2		1 + y'2		1−x2

Jerzy: Wycofuję ostatnie dwa posty , myslałem,że równanie wyjściowe to: y = xy' + √1 + y'²

Gosia: Ale na podstawie jakiego wzoru? Według mnie: 1) (√1+y')'=¹_2√1+y' y'' = ^y''_2√1+y' 2) (√1+y'²)'=¹_2√1+y'² 2y' y'' = ^{y' y''}_√1+y'² U mnie w przykładzie nie ma kwadratu.

Gosia: A ok Ale to wtedy dobrze jednak jest czy coś źle?

Jerzy: No to policz y ( post 9:09 )

Gosia: Policzyłam. Po scałkowaniu wychodzi ta sama funkcja. Jednak co ze stałą całkowania?

Jerzy: Ta sama , to znaczy jaka ?

Gosia:

	1
y'=		−1
	4x2

	1
∫dy=∫(		−1)dx
	4x2

	−1		−1−4x2
y=		−x+c=		+c
	4x		4x

Jerzy: Tutaj już nie ma stałej , to jest obwiednia rodziny prostych: y = Cx + √1 + C²

Gosia: No to w sumie nie wiem dlaczego w tych podręcznikach tak kombinują. Najbardziej opierałam się na "102 równania różniczkowe 1 rzędu z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku". Tam nie dość, że rozwiązują układ równań to jeszcze za y' podstawiają t. W Analizie Krysickiego (stamtąd pochodzi mój przykład) również nie liczą całki tylko układ równań. Podsumowując, moje rozwiązanie jest w porządku tylko trochę na około i przydługo, tak? Czyli jednak odpowiedz do tego równania: całka ogólna y=Cx+√1+c², całka osobliwa y=^−1−4x2_4x jest dobrze?

Jerzy:

	1
Tak , ... stosuje się podstawienie: y' = t tutaj: f(t) = √1+t i f'(t) =		,
	2√1+t

potem: x = −f'(t) y = f(t) − t*f'(t) w tym zadaniu rozwiazniem są: rodzina prostych: y = Cx + √1 + C²

	1
i ich obwiednia: y = −		− x
	4x

Gosia: Super, bardzo dziękuję. Mam jeszcze jedno pytanie, ale dotyczy innego równania.

	1		2		a
y'=		y2+		, gdzie całką szczególną jest y=
	3		3x2		x

Nie będę już pisać całego rozwiązania, bo zajęłoby mi to chyba ze sto lat, więc przejdę od razu

	a		1
do rzeczy. Zrobiłam podstawienie y=		+		, które doprowadziło mi równanie Riccatiego
	x		u

	−u2		a2		2		2a		1
do równania liniowego u'=		(		+a+		)−		u−		.
	x2		3		3		3x		3

	a2		2
Przyrównałam		+a+		do zera i wyszło mi a=−1 oraz a=−2.
	3		3

	2x−Cx23
Dla a=−1 otrzymałam y=		,
	−x2+Cx53

	−x−2Cx43
a dla a=−2 otrzymałam y=		.
	x2+Cx73

I teraz pytanie: jaka jest odpowiedź? W podręczniku jest tylko rodzina funkcji otrzymana dla a=−1. Nie rozumiem dlaczego.

jc:

2x − Cx2/3		2x4/3 − Cx
	=		=
− x2 + Cx5/3		− x7/3 + Cx2

−x − 2(−1/C) x4/3
x2 + (−1/C) x7/3

To jest to samo jesli zamienisz C na −1/C.

Gosia: Faktycznie. Przyglądałam się tym wynikom, ale nie zauważyłam tego wcześniej. Bardzo dziękuję za odpowiedź.