.. Hondziarz: y''' − y'' + 4y' − 4y = 20xe^−x Rozwiazanie: Rozwiazujemy równanie liniowe jednorodne: y''' − y'' + 4y' − 4y = 0 r³ − r² + 4r − 4 = 0 => (r² + 4)(r − 1) = 0 równanie charakterystyczne r₁ = 1 , r₂ = 2i , r₃ = −2i pierwiastki równania charakterystycznego Rozwiazanie ogólne równania liniowego jednorodnego y = C₁e^x + C₂ cos 2x + C₃ sin 2x Szukamy rozwiazania szczególnego równania niejednorodnego: y''' − y'' + 4y' − 4y = 20xe^−x y_s = (Ax + B)e^−x y'_s = Ae^−x − (Ax + B)e^−x = (−Ax + A − B)e^−x y''_s = −Ae^−x − (−Ax + A − B)e^−x = (Ax − 2A + B)e^−x y'''_s = Ae^−x − (Ax − 2A + B)e^−x = (−Ax + 3A − B)e^−x Wstawiamy do równania: (−Ax + 3A − B)e^−x − (Ax − 2A + B)e^−x + 4(−Ax + A − B)e^−x − 4(Ax + B)e^−x = 20xe^−x −10Ax + 9A − 10B = 20x => 5 − 10A = 20 ; 9A − 10B = 0 => A = −2 ; B =9/5 y_s = (−2x + 9/5)e^−x Rozwiazanie ogólne równania liniowego niejednorodnego: y = C₁e^−2x + C₂ cos x + C₃ sin x + (−2x + 9/5)e^−x Wstawiłem całe rozwiązanie zadania żeby było łatwiej. Od czego zależy jak wygląda wyraz zaznaczony na czerwono? Generalnie wiem że od stopnia wielomianu przy e^−x po prawej stronie równania, ale były przykłady gdzie było np 10e^x i y_s było czasami równe 10xe^−x a czasami 10e^−x Proszę o pomoc

jc: Co byś uzyskał, gdyby (Ax+B)e^−x było rozwiązaniem równania jednorodnego? W takim przypadku musiałbyś wziąć Cx² e^−x (no chyba, że to też byłoby rozwiązanie równania jednorodnego, ale chyba już widzisz w czym rzecz).

Hondziarz: Ok dzięki, chyba już rozumiem.