całka nieoznaczona madzik: Oblicz całkę: ∫(sintcost)² dt na początku skorzystałam z: sin2x=2sinxcosx

	1
sinxcosx=		sin2x
	2

więc:

	1		1
∫(sintcost)2 dt = ∫(		sin2t)2 dt =		∫sin22t dt
	2		4

Dalej zupełnie nie mam na nią pomysłu, próbowałam coś przez części, ale nie bardzo mi wychodziło

jc:

	1		cos 4t
sin2 2t =		−
	2		2

Leszek: Mozna przez czesci i jak otrzymasz calke z cos²(2t) to skorzystaj z jedynki trygonometrycznej otrzymasz calke z sin²(2t) i po przeniesieniu otrzymasz tzw wzor rekurencyjny

jc: Po co przez części, jak jest już wynik

	t		sin 4t
∫ =		−
	8		32

Leszek: Metoda rekurencyjna jest b wazna w matematyce i informatyce ,wiec warto jej nauczyc sie

madzik: jc nie rozumiem tylko twojego przekształcenia sin² 2t, skąd się to bierze? Leszek spróbowałam przez części obliczyć całkę ∫sin² 2t dt, wyszło mi 1/4∫(2t−sin2t*cos2t ) dt jak to dalej rozgryźć?

jc: cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β W szczególności cos 2α = cos² α − sin² α = 1 − 2 sin² α = 2 cos² α − 1

	1 − cos 2α		1 + cos 2α
Stąd sin2 α =		, cos2 α =
	2		2

Leszek: sin(2t)= u. czyli. du/dt = cos(2t)*2 sin(2t)=dv/dt czyli v=− cos(2t)/2 0,25 ∫ sin²(2t)dt = 0,25*(−sin(2t)*cos(2t)/2 + ∫2*cos²(2t)dt )= =0,25*(−sin(2t)*cos(2t)/2 +2*∫(1−sin²(2t))dt ) = =0,25*(sin(2t)*cos(2t)/2 +2t− 2*∫sin²(2t) dt) i teraz te calke przenosimy na lewa strone Chyba sie nie pomylilem prosze sprawdzic ,pisze na komorce a to jest klopotliwe

madzik: Super! dziękuję Wam za pomoc!

Mariusz: Przez części można było liczyć od razu wtedy z tożsamości trygonometrycznych przydaje się tylko jedynka trygonometryczna co więcej jeśli całkę otrzymano po podstawieniu to wygodniej wrócić do poprzedniej zmiennej ∫sin²(x)cos²(x)dx=∫(1−cos²(x))cos²(x)dx =∫cos²(x)dx−∫cos⁴(x)dx ∫cos⁴(x)dx=sin(x)cos³(x)−3∫sin(x)cos²(x)(−sin(x))dx ∫cos⁴(x)dx=sin(x)cos³(x)+3∫cos²(x)sin²(x)dx ∫cos⁴(x)dx=sin(x)cos³(x)+3∫cos²(x)(1−cos²(x))dx ∫cos⁴(x)dx=sin(x)cos³(x)+3∫cos²(x)dx−3∫cos⁴(x)dx 4∫cos⁴(x)dx=sin(x)cos³(x)+3∫cos²(x)dx

	1		3
∫cos4(x)dx=		sin(x)cos3(x)+		∫cos2(x)dx
	4		4

	1		1
∫cos2(x)dx−∫cos4(x)dx=−		sin(x)cos3(x)+		∫cos2(x)dx
	4		4

∫cos²(x)dx=sin(x)cos(x)−∫sin(x)(−sin(x))dx ∫cos²(x)dx=sin(x)cos(x)+∫sin²(x)dx ∫cos²(x)dx=sin(x)cos(x)+∫(1−cos²(x))dx ∫cos²(x)dx=sin(x)cos(x)+∫dx−∫cos²(x)dx 2∫cos²(x)dx=sin(x)cos(x)+∫dx

	1
∫cos2(x)dx=		(sin(x)cos(x)+x)+C
	2

	1		1
∫sin2(x)cos2(x)dx=−		sin(x)cos3(x)+		(sin(x)cos(x)+x)+C
	4		8