calka trygonometryczna mario: Oblicz całkę: ∫sin²xcos⁴xdx

jc:

	cos 6x		cos 4x		cos 2x		1
sin2 x cos4 x = −		−		+		+
	32		16		32		16

Dalej łatwo

mario: a skąd to się wszystko wzięło ? z jakich zależnosci?

jc: Z definicji funkcj trygonometrycznych:

	1		1
sin x =		(z −		)
	2i		z

	1		1
cos x =		(z +		)
	2		z

gdzie z = e^ix

Mariusz: ∫sin²(x)cos⁴(x)dx ∫(1−cos²(x))cos⁴(x)dx ∫cos⁴(x)dx−∫cos⁶(x)dx ∫cos⁶(x)dx=∫cos(x)cos⁵(x)dx ∫cos⁶(x)dx=sin(x)cos⁵(x)−5∫sin(x)cos⁴(x)(−sin(x))dx ∫cos⁶(x)dx=sin(x)cos⁵(x)+5∫cos⁴(x)sin²(x)dx ∫cos⁶(x)dx=sin(x)cos⁵(x)+5∫cos⁴(x)(1−cos²(x))dx ∫cos⁶(x)dx=sin(x)cos⁵(x)+5∫cos⁴(x)dx−5∫cos⁶(x)dx 6∫cos⁶(x)dx=sin(x)cos⁵(x)+5∫cos⁴(x)dx

	1		5
∫cos6(x)dx=		sin(x)cos5(x)+		∫cos4(x)dx
	6		6

	1		5
∫cos4(x)dx−∫cos6(x)dx=∫cos4(x)dx−		sin(x)cos5(x)−		∫cos4(x)dx
	6		6

	1		1
∫cos4(x)dx−∫cos6(x)dx=−		sin(x)cos5(x)+		∫cos4(x)dx
	6		6

∫cos⁴(x)dx=∫cos(x)cos³(x)dx ∫cos⁴(x)dx=sin(x)cos³(x)−3∫sin(x)cos²(x)(−sin(x))dx ∫cos⁴(x)dx=sin(x)cos³(x)+3∫cos²(x)sin²(x)dx ∫cos⁴(x)dx=sin(x)cos³(x)+3∫cos²(x)(1−cos²(x))dx ∫cos⁴(x)dx=sin(x)cos³(x)+3∫cos²(x)dx−3∫cos⁴(x)dx 4∫cos⁴(x)dx=sin(x)cos³(x)+3∫cos²(x)dx

	1		3
∫cos4(x)dx=		sin(x)cos3(x)+		∫cos2(x)dx
	4		4

∫cos²(x)dx=∫cos(x)cos(x)dx ∫cos²(x)dx=sin(x)cos(x)−∫sin(x)(−sin(x))dx ∫cos²(x)dx=sin(x)cos(x)+∫sin²(x)dx ∫cos²(x)dx=sin(x)cos(x)+∫(1−cos²(x))dx ∫cos²(x)dx=sin(x)cos(x)+∫dx−∫cos²(x)dx 2∫cos²(x)dx=sin(x)cos(x)+∫dx

	1
∫cos2(x)dx=		(sin(x)cos(x)+x)+C
	2

	1		3		3
∫cos4(x)dx=		sin(x)cos3(x)+		sin(x)cos(x)+		x+C
	4		8		8

	1
∫cos4(x)dx−∫cos6(x)dx=−		sin(x)cos5(x)+
	6

	1		1		1
		sin(x)cos3(x)+		sin(x)cos(x)+		x+C
	24		16		16