wyroznik z liczby zespolonej 6latek: Mamy tak

	√2|
[		(1−i)]2
	2

	√2|
czy to bedzie tak ze		podnosimy do potegi drugiej i (1−i) podnosimy do potegi
	2

drugie j czyli mnozymy (1−i)(1−i)

	√2|		1
wiec (		= =
	2		2

	1
(1−i)(1−i)= 1−i−i+i2= 1−i−i−1= −2i czyli		*(−2i)=−i
	2

Leszek: Tak,dobrze to rozumiesz i dobrze zrobiles , trzymaj tak dalej POWODZENIA

6latek: Czesc. Mam w ogole do rozwiazania rownie kwadratowe

	√2|
(1−i)z2=		(1−i)z+1+2i=0
	2

Do pewnego momentu to rozumiem ale pozniej juz nie Napiszse pozniej gdyz teraz muszse porozmawiac z corka

jc: Z ciekawości spytam, co oznacza pionowa kreska za pierwiastkiem? A ile to będzie (1+i)(2+i)(3+i) ?

Mila: Coś za dużo tych znaków równości w zadaniu 19:54

6latek: Juz przeczytalem dokladnie i piszse autor tak Przez symbol √d| gdzie d jest liczba rzeczywista dodatnia bedziemy rozumiec dodatni pierwiastek a liczby d

6latek: Dobry wieczor Milu 1= to ma byc oczywiscie (+)

6latek: Jestem dopiero w fazie poczatkowej z tymi liczbami ale sprobuje policzyc (1+i)(2+i)= 2+i+2i+i²=1+3i (1+3i)(3+i)= 3+i+9i+3i²= 3+10i−3= 10i

jc: Świetnie

1		1
	+		= ?
2+3i		2−3i

6latek:

	√2|
Wspolczyniki tego rownania to a= 1−i b=		(1−i) c= 1+2i
	2

	√2
Δ= b2−4a*c= [		(1−i)]2−4*(1−i)(1+2i)
	2

b² juz mamy policzone b²=−i −4(1−i)(1+2i)= −4(1+2i−i−2i²)=−4( 3+i) −i−4(3+i)= −i−12−4i= −12−5i Δ=−12−5i czyli a=−12 b=−5 <0

	−12+√144+25		12+√144+25
√Δ= ±(√		−i√		=
	2		2

	1		√2		√2
=±√12−i√252=±(√12−5i√		)=±(		−5i		)=
	2		2		2

	√2
±		(1−5i )
	2

Teraz stosujemy wzory na pierwiastki rownania

	−b−√Δ		√2   √2   − (1−i)− (1−5i)   2   2
z1=		=
	2a		2(1−i)

	√2   √2   − (1−i)+ (1−5i)   2   2
z2=
	2(1−i)

Dotad powinno byc OK Mam teraz dostac taka postac

	√2		−1+3i
z1=		(		)
	2		1−i

	i√2		√2		−2i
oraz z2=		=		*
	1−i		2		1−i

6latek: To z 21:30 policze pozniej tam mamy dzielenie wiec bedziemy mnozyc przez sprzezenie

Mila:

	√2
(1−i)z2+		*(1−i)z+1+2i=0 Takie równanie?
	2

jc: 6latku, skąd bierzesz takie straszne zadania?

6latek: Tak Milu jc z ksiazki o rownaniach algebraicznych

Mila:

	√2
(1−i)z2+		*(1−i)z+1+2i=0 / (1+i)
	2

2z²+√2z+(1+2i)*(1+i)=0 2z²+√2z+3i−1=0 Δ=2−8*(3i−1)=10−24i=2*(5−12i)=[√2*(3−2i)]²

	−√2−√2*(3−2i)		−√2+√2*(3−2i)
z=		lub z=
	4		4

dokończ

jc: Równanie z² = a + bi możesz rozwiązać ogólnie. Szkolne wzory z Δ nadal będą działać, tylko tam gdzie wstawia się ±Δ, będziesz wstawiał dwa (przeciwne do siebie) rozwiązania równania δ²=Δ. Rachunki numeryczne pozostawiłbym jednak maszynie liczącej. Jest tyle ciekawszych rzeczy w tym obszarze. Wiesz do czego może się przydać coś takiego: (1+i)/(5+i)⁴ ? Jak policzysz, to zdradzę tajemnicę.

6latek: Milu jutro sobie zapiszse Twoje rozwiazanie Jednak chcialbym dokonczyc to moje . jc ja dopiero zaczynam przygode z liczbami zespolonymi tzn ucze sie je dodawac odejmnowac mnozyc i dzielic Nie weim na razie do czego Znam wzory z ksiazki do obliczania pierwiastkow kwadratowych z liczby zespolonej i je tutaj policzylem (wiem skad sie biora

6latek: to (5+i)⁴ to pewnie mozna zrobic ze wzorou skroconego mnozenia jeszcze Z mozna tak ? (5+i)²= 25+10i+i²= 24+10i (24+10i)²=576 +480i+100i²= 476+480i

1+i		(1+i)(476−480i)		476−480i+476i−480i2
	=		=		=
476+480i		(476+480i)(476−480i)		456976

956−4i
456976

6latek: Teraz obliczenia z 21:30

1		1		2−3i		2+3i		2		3		2		3
	+		=		+		= −		+		i+		+		i=
2+3i		2−3i		−5		13		5		5		13		13

	26		10
−		+		+
	65		65

	39		15		−16		54
+		i+		i=		+		i
	65		65		65		65

jc: To jeszcze podzielmy przez 4: 956/4=(960−4)/4 = 240−1 = 239 (239−i) /M = (1+i)/(5+i)⁴ 1+i = (5+i)⁴ * (239−i) /M, M jest rzeczywiste, a nawet całkowite. Jak już zapoznasz się ze związkiem pomiędzy liczbami zespolonymi i kątami, to uzasadnisz równość wynikającą z naszego rachunku: π/4 = 4 arctg 1/5 − arctg 1/239 Wzór ten był wykorzystwany kiedyś do dokładnego liczenia wartości π.

jc: Z ułamkami to zupełnie źle Co to za prawo zadziałało po pierwszej równości? Jak się dodaje ułamki?

6latek:

1		2−3i		2−3i		2−3i		2−3i
	*		=		=		=		=
2+3i		2−3i		(2+3i)(2−3i)		4−9i2		13

	2		3
		−		i
	13		13

1		2+3i		2+3i		2		3
	*		=		=		+		i
2−3i		2+3i		13		13		13

	4
Po dodaniu =
	13

6latek: Tam sie przedtem pomylilem i mianowmik 1 skaldnika pomnozylem w pamieci przez 2+3i zamiast 2−3i

jc:

1		1		(2+3i) + (2−31)		4		4
	+		=		=		=
2+3i		2−3i		(2+3i)(2−3i)		4+9		13

A coś takiego

3+i		3−i
	+		= ?
3−i		3+i

6latek:

	(3+i)2+(3−i)2		9+6i+i2+9−6i+i2		18+2i2		18−2
=		=		=		=		=
	(3−i)(3+i)		9−i2		10		10

	16		8		3
		=		=1
	10		5		5

6latek: Wracajac do mojego postu 21:11

	√2		√2		√2
czy moge zapisac ze −		(1−i)−		(1−5i)=		(−1+i)(−1+5i)
	2		2		2

jc: Raczej nie ...

6latek: Witaj A jak by mozma to rozpisac ?

jc: A co chesz rozpisywać i w jakim celu?

6latek: Chce dojsc do postaci z₁ i z₂ ponizej Potem z w tych postaciach ponizej nalezy wykonac dzielenie i po wykonaniu dzielenia mam dostac

	√2		√2
z1=		(−2+i) z2=		(1−i)
	2		2

jc: Wychodząc z ... ?

	√2		1
Dlaczeo zapisujesz tak dziwnie? przecież		=		.
	2		√2

6latek: Teraz stosujemy wzory na pierwiastki z₁i z₂ itd Od tego wychodzimy A zapisuje tak bo autor tez w swojej ksiazce usuwa niewymiernosc z mianownika

jc: Czy potrafisz wskazać choć jesden powód, dla którego √2/2 jest lepsze od 1/√2 ? Kto jest autorem książki?

	−2+i		1−i
Wg Mili (wpis z 23:00) z =		lub z =
	√2		√2

6latek: Nie potrafie , ale chce ten przyklad zrobic wedlug tego schematu pokazanego w ksiazce Autor to Wlodzimierz Mostowski (1964r

6latek: na poczatku wjasnia skad biora sie liczby zespolone (cialo liczb zespolonych Potem pokazuje jak wykonuje sie dzialania na tych liczbaczh (4 podstawowe Potem pokazuje ze x²+1=0 ma rozwiazania w liczbach zespolonych czyli x₁=i lub x₂=−i nastepnie pokazuje jak wyciaga sie pierwiaski kwadratowe z liczb zespolonych Potem juz piszse ze mozemy juz rozwiazywac rownania kwadratowe w liczbach zespolonych (wiec probuje to robic Potem jest obliczanie pierwiastkow z jednosci Geometryczna teoria liczb zes[polonych Zasadnicze tw. algebry . Postac trygnometryczna Rownania stopnia trzeciego Metody rozwaizan rownan wyzszych stopni (numeryczne Jade po kolei Ksiazka ma 176 stron

jc:

	1−i
(1−i) z2 −		z + (1−2i) = 0
	√2

	(1−i) [ (1−i) − 8(1+2i) ]		(1−i)(7+17i)
Δ = (1/2) (1−i)2 − 4(1−i)(1+2i) =		=
	2		2

jc: Wcisnąłem nie ten przycisk i poszło w świat .... Dopisz minus przed ostatnim ułamkiem. = − (12+5i) = i (2 + 3i)² Teraz pierwiastki kwadratowe liczysz w pamięci:

	1+i
±		(2+3i)
	√2

Sprawdź, bo w takich rachunkach się czasm mylę Możesz też liczyć pierwiastki z −12−5i korzystając z ogólnego schematu. Myślę, że to właśnie Ci chodzi.

6latek: Ja jednak bym Cie prosil zebys mi pokazal o ile to mozliwe jak przeksztalcic te z₁ i z−2 (te moje do tych postaci przed dzieleniem Ja delte oblicze Chce zrobic tak jak on pokazuje . Rozwiazania Mili powiem szzcerze nie rozumiem Pytanie nr 1 Dlaczego pomnozyla obie strony przez (1+i) Pytanie nr 2 Dlazcego tak przeksztalcila delte do obliczenia z₁ i z₂ Samo obliczenie delty rozumiem Ale dalszse jej przekszalcenie to juz nalezy pewnie duzo takich przykladow rozwiazac zeby wiedziec jak

jc: Najwyraźniej chcesz liczyć, jak komputer. W takim razie lepiej napisać program i przekazać pracę komputerowi. Napisz swoje z₁, z₂ bo w tak długim tekście można się pogubić.

6latek: Wiec piszse

	√2   √2   − (1−i)− (1−5i)   2   2
z1=
	2(1−i)

	√2   √2   − (1−i)+ (1−5i)   2   2
z2=
	2(1−i)

Mam dostac

	√2		−1−3i
z1=		(
	2		1−i

	i√2		√2		−2i
z2=		=		*
	1−i		2		1−i

Juz tlumacze o co mi chodzi

	√2		√2
Chodzi o to jak np wyciagniac prze nawias		w z1 skoro mam tam −		bo to
	2		2

chyba o to chodzi w tym przekszatlceniu Czy w z₂ tez wyciac ten pierwiastek przed nawias? CHodzi mi o przeksztalcenie

jc: Przede wszytkim zapomnij na chwilę o √2/2 (jak można tak okropnie pisać?). [−(1−i) − (1−5i)] / [2(1−i)] = − 2 + i [−(1−i) + (1−5i)] / [2(1−i)] = 1 − i

6latek: Policzylem to i sie zgadza

jc: Co spoliczyłeś? co się zgadza?

6latek: Post 14:33

jc: Narysuj sobie na kartce w kratkę kolejne potęgi liczby 1+i. Jak się układają? A potem kolene potęgi 2+i.

6latek: To jest dla mnie za trudne jeszcze

6latek: Jeszcze nie doszsedlem do postaci geometrycznej Teraz ide do rodzicow . jesli w miedzyczasie cos napiszse to przeczytam pozniej

6latek:

6latek: Przepraszam ale czy jest ktos w stanie pokazac te przeksztalcenia ?

6latek: Post 14:18

jc: Napisałeś, że się zgadza

6latek: Alez nie . Napisalem ze sie zgadzaja Twoje obliczenia z 14:33 bo sprawdzilem

6latek: Dobra chyba juz wiem . Moze nie tak jak autor sobie zyczy ale tak

	√2   (−(1−i)−(1−5i) 2		√2
z1=		} co po obliczeniach da z1=		(−2+i)
	2−2i		2

	√2   (−(1−i)+(1−5i) 2		√2
z2=		co po obliczeniach da		(1−i)
	2−2i		2

Mila: 1) Pomnożyłam obie strony równania przez (1+i), aby otrzymać wsp. rzeczywiste przy z² i z. 2) Otrzymałam Δ=10−24i =2*(5−12i) Sprawdzam z wzoru skróconego mnożenia , czy da się (5−7i) "zwinąć " w kwadrat . (pamiętałam, że tak) Jeśli nie "trafiłabym", to tak: (5−12i)=(x+iy)² , x,y∊R 5−12i=x²+2xyi−y² 5−12i=(x²−y²)+2xyi x²−y²=5

	6
2xy=−12⇔y=−
	x

	6
x2−(		)2=5
	x

x⁴−36−5x²=0 Δ=25+144=169

	5−13		5+13
x2=		nie odp. lub x2=		=9
	2		2

x=3 lub x=−3 y=−2 lub y=2 (5−12i)=(3−2i)²=(−3+2i)²

6latek: dziekuje Zastanawialem sie dlaczego w jednym wyprowadzeniu bylo x²−y² . teraz juz wiem