homomorfizmy, rzutowanie algebra: 1. Znaleźć macierz odwzorowania L(x,y,z) : (y−x, 3x−2z, 2x+y−z) z R³ w R³, jeśli w dziedzinie przyjmujemy bazę d₁=[1,2,3], d₂=[0,2,1], d₃=[3,1,1] a w przeciwdziedzinie bazę p₁=[2,0,1], p₂=[1,1,1] p₃=1,0,3]. Sprawdź, czy L jest epimorfizmem, monomorfizmem. 2. Dla jakich wartości a,b zespolonych odwzorowanie przestrzeni wektorowych nad C L: C³ (x,y,z)−>(2ax−3by, x−y+abz) C² jest homomorfizmem, monomorfizmem, epimorfizmem? 3. Znaleźć macierz w bazie kanonicznej endomorfizmu płaszczyzny R² będącego rzutowaniem prostopadłym na prostą o równaniu y=x.

jc: L(x,y,z) = (y−x, 3x−2z, 2x+y−z) (równość, nie dwukropek) d₁=(1,2,3), d₂=(0,2,1), d₃=(3,1,1) p₁=(2,0,1), p₂=(1,1,1), p₃=(1,0,3) e₁ = (1,0,0) = 3/4 p₁ − 1/4 p₃ e₂ = (0,1,0) = p₂ − e₁ − e₂ = ... wyraź przez p₁, p₂, p₃ e₃ = (0,0,1) = 2/5 p₃ − 1/5 p₁ L(d₁) = L(1,2,3) = (1,−3,1) = e₁ − 3 e₂ + e₃ = A p₁ + B p₂ + C p₃ wylicz A, B, C Liczby A, B, C utworzą pierwszą kolumnę szukanej macierzy Potem rozpisz L(d₂) i L(d₃). Otrzymasz drugą i trzecią kolumnę macierzy.

algebra: ok, dziękuje. a jak sprawdzić czy jest to epimorfizmem?

jc: A możesz przypomnieć, co to znaczy?

algebra: z tego co pamiętam, miało to coś wspólnego z odwzorowaniem "na"

jc: L(x,y,z) = (y−x, 3x−2z, 2x+y−z) L(2, −1 ,3) = ( −3 ,0, 0) L(1, 1 ,3) = ( 0 ,−3, 0) L(2, 2 ,3) = ( 0 , 0, 3) Widać, że kazdy wektor w R³ jest obrazem pewnego wektora. Zatem mamy przekształcenie "na". A jeśli monomorfizmy oznacza przekształcenie różnowartościowe, to wystarczy sprawdzić dla jakich wektorów L(x,y,z) = (0,0,0). Jeśli będzie tylko jeden taki wektor, to przekształcenie będzie różnowartościowe. y−x =0 3x−2z=0 2x+y−z =0 x=y=z=0