Wyznaczanie podgrupy grupy Podgrupa: wyznaczanie podgrupy grupy Z₁₅ Cześć czy ktoś mógłby mi powiedzieć jak się wyznacza podgrupy danej grupy? tak łopatologicznie?

Saizou : Z₁₅={0,1,2,3,...,15} |Z₁₅|=15 z tw. Lagrange'a mamy że możliwe rzędy podgrup to {1,3,5,15} przy czym |H|=1 to grupa trywialna czyli składająca się tylko z elementu neutralnego, tzn. H₁={0} oraz |H₂|=15 stąd H₂= Z₁₅ |H₃|=3 stąd H₃={0,5,10} |H₄|=5 stąd H₄={0,3,6,9,12}

Podgrupa: a jak się oblicze te wartości w nawiasach? mam na myśli {0,5,10} , {0,3,6,9,12}

Saizou :

	n
dla grup Zn wystarczy wziąć k=
	|H|

i brać kolejne wielokrotności {k⁰, k¹,...,k^|H|−1}=<k> bo są to grupy cykliczne, <k> oznacza generator PS. k⁰, k¹ itd. liczba w wykładniku oznacza ile razy trzeba wykonać dane działanie (tutaj jest to + więc kolejne wielokrotności to k, k+k, k+k+k,... )

Podgrupa: dzięki

Podgrupa: a jak będzie mnożenie? to będą to jakie grupy? {1} {1,3,9} {1,3,9, ?, ?)

Podgrupa: @Saizou pomożesz?

jc: Można rozpatrywać grupę elementów odwracalnych w Z₁₅ oznaczaną symbolem Z₁₅^*. Z₁₅* = {1,2,4,7,8,11,13,14} Podgrupy {1}, {1,4}, {1,2,4,8}, {1,4,7,13}, {1,11}, {1,14}, {1,4,11,14}, całość Czy coś jeszcze znajdziemy?

Podgrupa: nie rozumiem twojego liczenia

jc: Zbiór {0,1,2,...,14} z dodawaniem modulo 15 jest grupą. Zbiór {0,1,2,...,14} z mnożeniem modulo 15 nie jest jest grupą. Pewnych elementów nie mozna odwrócić (jakich?). Pozostałe elementy tworzą grupę ze względu na mnożenie modulo 15.

Podgrupa: więc z tw. Lagrange'a o możliwych rzędach podgrup {1,3,5,15} tu nie działa w przypadku mnożenia?

jc: Oczywiście, że działa Zbiór {1,2,4,7,8,11,13,14} z mnożeniem modulo 15 jest grupą. Grupa ta liczy 8 elementów. Podgrupy mogą mieć 1,2,4,8 elementów.

Podgrupa: ale to nie są dzielniki liczby 15

jc: A dlaczego mają być dzilnikami 15? Twierdzenie mówi, że Liczba elementów grupy dzieli liczbę elementów grupy. Nasza grupa (z mnożeniem) ma 8 elementów, nie 15 (tyle miała grupa z dodawaniem).

jc: Po prostu spytałeś a jak będzie mnożenie? to będą to jakie grupy? I na ten temat napisałem.

Podgrupa: ok dzięki

x: Wiecie jaka jest najszybsza metoda na wyznaczanie podgrup, które jc wyznaczył w 21:23?