podchwytliwa granica tomek: sprawdź istnienie granicy:

	1
Lim x,y−>0 (x2 + y2) sin(		)
	x2 + y2

	1
Przechodzę na biegunowe: lim r−>0 r2 * sin(		) i teraz tak...
	r2

wg. Wolframa ta granica = 0, ale nie mam pojęcia dlaczego. Możemy przecież to rozpisać jako lim

	1		1   sin( )   r2
r−>0 r2 * sin(		) => lim r−>0		co z własności lim x−>0
	r2		1   r2

	sinx
		= 1, daje nam właśnie 1... Ale idąc dalej:
	x

	1   sin( )   r2		∞
lim r−>0		=		, więc używając Dh otrzymuje lim r−>0
	1   r2		∞

	1
cos(		), czyli po prostu brak granicy. Która odpowiedź jest prawidłowa ? Granica w
	r2

końcu istnieje, czy nie istnieje ?

tomek:

	1
Dobra − z tym sin(		) trochę poleciałem bo to ≠ ∞, ale nie zmienia to faktu, że dalej
	r2

nie wiem, czy granica = 1, czy 0. Czy istnieje, czy nie.

ICSP: Po co na biegunowe ? Sinus jest ograniczony, x² + y² → 0, więc granica to 0. I koniec.

jc: (x,y) ≠ (0,0)

	1
| (x2+y2) sin (		) | ≤ (x2+ y2)
	x2+y2

Zatem, jeśli (x,y) → (0,0), czyli x²+ y² →0, to f(x,y) →0.

tomek: Tak właśnie myślałem i w sumie doszedłem do tego niemal natychmiast, ale po tych wszystkich kolokwiach i podchwytliwych zadaniach myślałem, że ten przykład ma drugie dno (jak większość). A takie zadanie: ? Sprawdź ciągłość funkcji: F(x,y) =

xy2
	dla x,y ≠ 0
x2+y4

0 dla x,y = 0 Żeby funkcja była ciągła musi: 1. Być poprawnie określona w swojej dziedzinie (jest). 2. Zachodzić lim x−>x₀ , y−>y₀ f(x,y) = f( x₀ , y₀ ) x₀ =0 należy do dziedziny. y₀ =0 należy do dziedziny. granica lewostronna = 0, granica prawostronna = 0. Dla f( x₀ ) = f(0) = 0, więc funkcja jest ciągła. Znajomemu wyszło, że funkcja nie jest ciągła. Niestety nie będę miał z nim kontaktu przez najbliższy tydzień i nie wiem jak do tego doszedł (i czy jego rozwiązanie jest właściwe), a przerabiam sobie listy zadań przed egzaminem, więc chciałbym wiedzieć jaki jest wynik.

jc: To już filozofia: czy istnieje funkcja niepoprawnie określona? Masz co najmniej dwie definicje granicy funkcji: 1. Dla każdego ciągu zbieżnego do p, ... 2. Dla każdego otoczenia punktu p, ... (Dla każdego ε > 0 ... ) Której definicji używasz?

jc: (a,b) ≠ (0,0) (x_n, y_n) = (a/n², b/n)

	ab2
f(xn,yn) =
	a2+b4

Podchodząc do (0,0) z różnych stron, możesz uzyskać przeróżne wyniki, Funkcja nie ma więc granicy w (0,0), a tym bardziej nie jest ciągła.

ICSP: Ja też am pytanie: Co rozumiesz przez stwierdzenie : "granica lewostronna i prawostronna"

tomek: @jc. Faktycznie na ciągach to pięknie wychodzi. funkcja nie zależy od n, wiec nie jest ciągła (w skrócie). Już rozumiem. Co do definicji granicy, chodzi ci o Cauchego i Heinego ? @ICSP. Granica lewostronna, gdy zbliżam się do np. 0 z lewej strony i prawostronna, analogicznie, z prawej strony.

ICSP: a jeżeli zbliżasz się po prostej y = x albo prostej x = 1 ?

ICSP: x = 0*