srodek ciezkosci 1212: znajdz srodek ciezkosci jednorodnej płaskiej płytki ograniczonej liniami y−x²=0, y=9

Jerzy: Ustal granice całkowania i licz: m = ∫∫dxdy m_x = ∫∫xdxdy m_y = ∫∫ydxdy

	mx
xc =
	m

	my
yc =
	m

1212: granice całkowania x(−3,3) y(x²,9)?

Jerzy: Tak

1212: nie wiem za bardzo co mam całkowac po tym co napisales

Jerzy: po kolei: m = ₋₃∫³_x²∫⁹dxdy m_x= ₋₃∫³_x²∫⁹xdxdy m_y = ₋₃∫³_x²∫⁹ydxdy

1212: m= 3∫³ dx x2∫⁹ dy, co ma byc tutaj calkowane?

Jerzy: ₋₃∫³ [ ∫dy] dx i ∫dy = y

1212: czyli m=3y?

Jerzy:

	1
= −3∫3 [9 − x2]dx = [ 9x −		x3 ] w granicach [−3,3]
	3

Jerzy: przecież całka oznaczona to liczba, a nie funkcja

1212: okej czyli 36 a mx i my to bedzie 9x−x³ i 9y−x²y?

Jerzy: to będzie: m_x = ₋₃∫³(9x − x³)dx m_y źle

1212: mx wychodzi 0

Jerzy: a co w tym dziwnego ? ( płytka jest symetryczna wzgledem osi OY )

1212: nie wiem w takim razie jak moze wygladac my

Jerzy: ∫(ydy)dx = ?

Jerzy: sorry... ∫[∫ydy]dx = ?

1212: wedlug mnie tak jak napisalem y(9−x²)

Jerzy:

	1		1		1
= ∫[		y2]dx = ∫(		*92 −		x4)dx
	2		2		2

Jerzy: przecież po policzeniu całki po y w granicach całkowania po y, zmienna y ci znika i masz funkcję zależną tylko od x , którą całkujesz

1212: czyli wzor na my to ydydx a nie ydxdy?

Jerzy: jest tak, jak napisałem,tylko w pierwszym przypadku ( dla m_x) liczyłeś: ∫xdy = xy,

	1
w przypadku my liczysz całkę : ∫ydy =		y2
	2

1212: Czyli w mx licze y po x a w my licze y po "igrekach"

Jerzy: w oby przypadkach liczysz po y m_x = ∫(∫xdy)dx = ∫[xy]dx ... i po wstawieniu granic masz całkę z funkcji f(x)

	1
my = ∫(∫ydy)dx = ∫[		y2]dx ... i po wstawieniu granic masz całkę z funkcji f(x)
	2

1212: ok rozumiem tylko jeszcze mnie zastanawia czemu na początku 9−x² a nie x²−9? wiem, ze w drugim przypadu wychodzi na minusie ale dopiero po obliczeniu

Jerzy: bo górną granicą całkowania dla y , jest: y = 9 , a dolną: y = x²

1212: ok dzieki

1212:

	27
xc=0, yc=		, yc bedzie odpowiedzią?
	4