metody numeryczne - pytania do egzaminu Michał: Witam , chciałbym upewnić się co do kilkunastu pytań (są one wielokrotnego wyboru) z metod numerycznych , oto one: 1.Dla danej różniczkowalnej funkcji f : R −> R metoda siecz− nych A) wymaga w większości iteracji obliczenia wartości funkcji tylko w jednym punkcie. B) jest zbieżna kwadratowo w pobliżu zer pojedynczych f . C) wymaga w każdej iteracji obliczenia wartości funkcji i jej po− chodnej. D) jest zawsze zbieżna globalnie do punktu stałego f . E) jest zawsze zbieżna do pewnego zera funkcji f . Moja odpowiedź : B,E 2. Jeżeli zadanie obliczania wartości funkcjif jest źle uwarun− kowane numerycznie to A) małe błędy danych wejściowych mogą prowadzić do mocno za− burzonych wyników. B) nie istnieje algorytm, który by je szybko rozwiązywał. C) nie może istnieć numerycznie stabilby algorytm obliczania tej wartości. D) oznacza, że na wejściu mogą pojawiać się dane z dowolnie du− żymi błędami względnymi. E) w algorytmach zawsze występuje zjawisko kasowania bitów zna− czących. Moja odpowiedź: A 3. Dla każdego algorytmu całkowity wpływ dowolnego błędu za− okrągleń na końcowy bezwzględny błąd obliczeń A) decyduje o stabilności numerycznej tego algorytmu. B) jest mniejszy od błędu nieuniknionego dla zadań dobrze uwa− runkowanych numerycznie. C) jest zawsze większy od tego błędu zaokrągleń. D) jest zawsze mniejszy od tego błędu zaokrągleń. E) jest zawsze równy temu błędowi zaokrągleń. Moja odpowiedź : A 4.Ile istnieje wielomianów stopnia 3 interpolujących funkcję f w węzłach 1, 2, 3? A) nieskończenie wiele B) pomiędzy 2 a 10 C) odpowiedź zależy od wartości funkcji w węzłach, D) dokładnie jeden E) zero Moja odpowiedź: E 5. Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe. A) Dla kwadratury Gaussa w przedziale [−1,1] z wagą w(x) = 1 węzły są zerami pewnego wielomianu Legendre’a. B) Kwadratura Simpsona jest dokładna dla wszystkich wielomia− nów stopnia 3. C) W kwadraturze Gaussa wszystkie węzły muszą być równomier− nie rozmieszczone. D) Kwadratura Gaussa dla każdej funkcji ciągłej wylicza przybli− żenie całki dokładniej od kwadratury Newtona−Cotesa. E) Kwadratura trapezów jest dokładna dla wszystkich wielomia− nów stopnia 2. Moja odpowiedź: A,B,D 6. Metoda potęgowa wyznaczania wartości własnych A) zastosowana do macierzy A⁻1 wyznacza odwrotność najmniej− szej wartości własnej macierzy A B) pozwala na wyznaczenie wektora własnego odpowiadającego największej (”na moduł”) wartości własnej. C) nie może być stosowana do macierzy diagonalnych. D) zastosowana do macierzyA − alfa* I, gdzie alfa należy do R, I jest macierzą jednostkową wyznacza wartość własną najbliższą α E) wymaga aby wszystkie wartości własne macierzy miały ten sam moduł. Moja odpowiedź: A,B 7. Metoda gradientowa (prezentowana na wykładzie) A) jest wykorzystywana w optymalizacji. B) wykorzystuje pochodne cząstkowe funkcji aby określić kierunek największego spadku wartości. C) zawsze znajduje minimum globalne funkcji. D) wypełnia dany obszar płynnym przejściem tonalnym pomiędzy dwoma kolorami. E) wykorzystuje wyżażanie aby uniknąć ”utknięcia” w minimum lokalnym. Moja odpowiedź: A,C 9. Jeżeli węzły x₀,x₁,x₂,x₃ są zerami standardowego wielomianu ortogonalnego stopnia 4 w przedziale [−1,1] to w tym przedziale kwadratura Gaussa A)jest równoważna metodzie Simpsona B) jest dokładna tylko dla wielomianów stopnia nie większego niż 6 C) jest dokładania dla każdego wielomianu 8 stopnia D) jest dokładna dla każdej funkcji okresowej E) jest dokładna dla każdego wielomianu 7 stopnia Moja odpowiedź: B) 10.Które z poniższych metod wyznaczania zer funkcji są lokalnie zbieżne szybciej niż kwadratowo w pobliżu zer jednokrotnych A) metoda robiąca na w jednym kroku jeden krok metody stycznych i jeden krok metody regula falsi B) metoda regula falsi C) metoda , która w jednym kroku robi dwa kroki metody siewcznych D) metoda Newtona E) metoda , która w jednym kroku robi 10 kroków metody bisekcji Moja odpowiedź: B) 11. Ile istnieje wielomianów iterpolacyjnych Hermite'a stopnia 6 mających w węzłach x₀ = 0,x₁ = 1,x₂ = 4 takie same wartości i pochodne jak funkcjaf(x) = cos^x2 ? A)nieskończenie wiele B) dokładnie jeden C) pomiędzy 3 a 10 D) zero E) dwa Nie wiem jak rozwiązać to zadanie 12.Algorytm obliczania wartości funkcji f jest stabilny numerycznie jeżeli A) zawsze się zakończy zwracając wynik z błędem względnym mniejszym niż precyzja maszynowa. B) jest szybszy od każdego innego algorytmu. C) sumaryczne błęy zaokrągleń są w nim mniejszy niż w innych algorytmach. D) zawsze się zakończy zwracając wynik z błędem bezwględnym mniejszym niż precyzja maszynowa. E) wpływa każdego z błędów zaokrągleń jest na poziomie błędu nieuniknionego Moja odpowiedź : C