Całka po półkuli Rafał: Mam problem z granicami całkowania dla całki ∫∫∫_A √x²+y²+z² dxdydz , gdzie zbiór A to jest zbiór taki że : x²+y²+(z−1)² ≤1 oraz z ≥1 Chce wspólrzedne sferyczne : x=rcosucosv y=rsinu sin v z=rsinv Czy wówczas granice całkowania będą tak 0≤u≤2pi oraz 0≤v≤pi/2 0≤r≤2sinv?

Leszek: narysuj sferę , wykonaj jej rzut na płaszczyznę z=1 i w nowym układzie współrzędnych równanie sfery : x² + y² + z² =1 , zaś obszar D : x ² + y² = 1 z=√1−(x²+y²) z=√1−(x²+y²) z 2π 1 ∫ ∫ dxdy ∫ dz = ∫ ∫ dxdy[√1−(x²+y²)] = ∫ dφ ∫ r*√1−r² dr => dalej policz sam D 0 D 0 0

Leszek:

	2π
otrzymałem wynik V =		,jest to przecież połowa objętości kuli
	3

piotr: ∫−11 ∫−√1−x2√1−x2 ∫11+√1−x2−y2 √x2+y2+z2 dz dy dx=

	1
∫02π∫0π/4∫1/cosφ2cosφ r3sinφ dr dφ dθ =		(53−16 √2)π ≈ 3.1806
	30