Szereg potęgowy. Feok: Jak pozbyć się tego (n+1) w tym szeregu, żeby można było ładnie obliczyć sumę?

	3n−1x2n
n=1∑∞
	(n+1)4n

Obszar zbieżności wychodzi x ∊ (−²_√3,²_√3), a żeby łatwiej było, to robię jeszcze podstawienie t=x².

Leszek: w szeregu potęgowy możemy zbadać jego zbieżność np. kryterium d'Alemberta

	3n−1		3n
an=		oraz an+1 =
	(n+1)4n		4(n+2)4n

	an+1
obliczamy granicę lim		=3/4 dla n→∞
	an

zatem promień zbieżności tego szeregu R = 1/g = 4/3 i przedział zbieżności x∊ (−R;R) jeszcze należy zbadać zbieżność na krańcach przedziału

	−2√3		2√3
w tym przykładzie x2<4/3 => x∊(		;		)
	3		3

Benny:

1		3n*x2n		1		1		3
	∑		=		*∑		*(		x2)n
3		(n+1)4n		3		n+1		4

3
	x2=t
4

Leszek: w podobny sposób oblicz przedział zbieżności szeregu potęgowego ∞

	n*5n
∑		*(x2−1)n
	3n−1

n=1

Feok: Obszary zbieżności umiem wyliczać. Nie potrafię znaleźć sumy w tym przypadku.

Feok:

	tn
Ok, to mam szereg ∑		i w takim razie jak tu wyznaczyć sumę? Pochodna nie pomoże, bo
	n+1

jest n+1 w mianowniku, całkowanie też chyba nie.

jc:

	tn
f(t) = ∑{n≥0}
	n+1

	t		1
[ t f(t) ] ' = ∑{n≥0} tn =		=		− 1 = [− ln(1−t) − t ]'
	1−t		1−t

t f(t) = C − ln(1−t) − t podstawiając t=0, widzimy, że C=0

	t + ln(1−t)
f(t) = −
	t

Leszek: podany przez Ciebie szereg potęgowy jest zbieżny w określonym przedziale , wybież wartość x z tego przedziału oblicz sumę , będzie oba inna dla różnych x ale tylko z tego przedziału np. dla x=0 ∑=0 oblicz dla x=1

Feok: @Leszek chodzi o to, żeby uniwersalnie zapisać wzór na sumę szeregu dla dowolnego x, jak to @jc napisał.

Leszek: OK zgadzam się

Feok:

	1
Wracając, to trzeba wyciągnąć czynnik		przed sumę i potem zróżniczkować pozbywając się
	x2

(n+1) z mianownika.

g:

	xn
Można też wyjść z tego że ∑1∞		= −ln(1−x) (szereg Maclarina)
	n

1: ale otrzymaliśmy wzór na sumę S(t) a jak teraz otrzymać S(x)?

1: bo podstawiając t = ... otrzymamy wzór na S(3/4 x²) a nie S(x)