funkcje kombinatoryka 6latek : Zadanie : Wypisz wszystkie funkcje f:X→Y , gdzie X={x₁,x₂} ,Y={0,1,2} To według mnie będzie tak 1. f(x₁)=0 f(x₂)=0 →(0,0) 2, f(x₁)=0 f(x₂)=1 → (0,1) 3 f(x₁)=0 f(x₂)=2 → (0,2) 4. f(x₁)=1 f(x₂)=0 → (1,0) 5. f(x₁)=1 f(x₂)=1 → (1,1) 6 f(x₁)=1 f(x₂)=2 → (1,2) 7. f(x₁)=2 f(x₂)=0 → (2,0) 8 f(x₁)=2 f(x₂)=1 → (2,1) 9 f(x₁)=2 f(x₂)=2 → (2,2) Wypisz wszystkie funkcje f: X→Y gdzie X={x₁,x₂,x₃} Y={0,1} 1. f(x₁)=0 f(x₂)=0 →(0,0) 2. f(x₁)=0 f(x₃)=1 →(0,1) 3. f(x₁)=1 f(x₂)=0 →(1,0) 4. f(x₁)=1 f(x₃)=1 →(1,1) nie wiem jak dalej

6latek :

jc: Masz określić f(x₁),f(x₂), f(x₃) f(x₁)=0, f(x₂) = 0, f(x₃) = 0 f(x₁)=0, f(x₂) = 0, f(x₃) = 1 f(x₁)=0, f(x₂) = 1, f(x₃) = 0 .... f(x₁)=1, f(x₂) = 1, f(x₃) = 1

Jerzy: Musisz dostac 2³ funkcji

Janek191: f : X → Y X = { x₁, x₂, x₃} Y = { 0,1} f₁ = { (x₁,0),(x₂, 0),(x₃, 0}} f₂ = {(x₁,1),(x₂,1),(x₃, 1)} f₃ = {(x₁,0),(x₂,0),(x₃,1)} f₄ = { (x₁,0),(x₂,1),(x₃,0)} f₅ = {(x₁,1),(x₂,0),(x₃,0)} f₆ = {(x₁,1),(x₂,1),(x₃,0)} f₇ ={(x₁,1),(x₂,0),(x₃,1)} f₈ = {(x₁,0),(x₂,1),(x₃,1)}

jc: myślę, że czytelniej byłoby zrobić tabelę f(x₁) f(x₂) f(x₃) 0 0 0 0 0 1 0 1 0 itd.

6latek : dzien dobry Panom dziekuje za rozpisanie . Miałem z tym kłopot Przepraszam ze tak pozno odpisuje .

Janek191:

6latek : Janek191 Wiedzialem ze mam dostać 8 takich funkcji czyli 2³ tak jak w 1 zadaniu miałem dostać 9 funkcji czyli 3² bo z zbiorze Y miałem 3 elementy a w zbiorze Y −2 elementy i miałem dostać 9 ciagow dwuelemntowych i tak dostałem natomiast w zadaniu nr 2 się zamotałem TEraz widze ze muszse dostać 8 ciagow 3 elementowych

Jerzy: 3 elementowe wariacje z powtorzeniami zbioru 2 elementowego

jc: Ciąg jest funkcją

6latek : Tak Jerzy Masz racje (czyli wszystkich funkcji ) w odróżnieniu od funkcji różnowartościowych

	3!
gdzie np. tutaj dostalibyśmy takich funkcji V23=		= 6
	1!

Jerzy: Tak,wariacje bez powtorzen

jc: Proponuję uzywać symbolu Pochhammera (będzie nowocześniej) (x)_k = x (x−1)(x−2) ... (x−k+1)

	x k		(x)k
Wtedy		=		.
			k!

6latek : jc Ale to już w 1976r jest nowocześnie bo w książce W. Szlenk Rachunek pradopodobienstwa dla klasy 4 liceum i technikum na stronie 48 tak wlasnie pisze tylko ze używa innych liter Jakos mi tamtem wzor utkwil bardziej w pamięci i go używam

jc: Z ciekawości wyciągnąłem Szlenka. Nie ma ilorazów silni, jak u Ciebie, ani dużej litery V w tym znaczeniu.

6latek : tak ale jest m(m−1)......(m−n+1) Poza tym na stronie nr 44 jest napisane (czytelnik pamięta z kursu algebry klasy 2 ze funkcje określone na zbiorze itd. Wlasnie w kursie algebry klasy 2 sa te wzory na V , V z kreska na gorze i na C I na stronie 49 zaraz masz napisane Jeśli X jest zbiorem itd. (malym drukiem .. W sumie to szzcegol jest

jc: Ale nie mam litery V. Przy okazji, po co wprowadzać słowo wariacja, jak można mówić o ciągach i ciągach różnowartościowych?

6latek : Je się z Toba zgadzam . Nauka nie stoi w miejscu i się rozwija a od 1977r kiedy byłem w 4 klasie technikum minelo już sporo czasu Jak przeglądam rozne książki z kombinatoryki to np. myśmy z tego co pamiętam nie mówili o regule mnożenia . Teraz się mowi . Daltego napisałem ze zapamietalem(w sumie sobie go przypomniałem ) ten wzor na wariacje bez powtorzen

Metis: Z tym rozwojem to też różnie Krzyśku. Z liceum usuwane są kolejne wiadomości. Jeśli nauczyciel nie wspomni o istnieniu funkcji cotangens to polski licealista już się o tej funkcji w szkole nic nie dowie.

6latek : Czesc Metis

jc: To są stare rzeczy. Zmienia się co najwyżej sposób uczenia. Jak wiesz, jak policzyć wszystkie ciągi, oraz wszystkie ciągi różnowartościowe, to po co robisz kolejne zadania na ten temat? Potrafiłbyś wyjasnić, dlaczego taka właśnie pojawia się liczba? Kiedy pojawia się silnia? To były funkcje ze zbioru {1,2,...,k} w zbiór {1,2,...k}. A jak policzyć podzbiory k−elementowe zbioru n−elementowego, i co to ma wspólnego z funkcjami?

jc: Miało być {1,2,3, ..., k} →{1,2,3, ..., n}

Metis: Witaj Krzyśku i jc

6latek : Silnia pojawia się jeśli mamy permutacje

	n k		n!
Podzbiory k−elementowe zbioru n elementowego policze ze wzoru		=
			k!(n−k)!

Jednak co to ma wspólnego z funkcjami Tyle ze będą to tez ciagi a ciagi sa funkcjami jc jest mi ciężko o tym pisać dlaczego wiem jak policzyć ciagi i robie następne zadania

jc: To po kolei. Jak policzyć wszystkie funkcje {1,2,3, ..., k} →{1,2,3,...,n} Nie chodzi o gotowy wzór, tylko o wyjaśnienie.

6latek : Ogolnie to tworzymy ciagi kelentowe zlozne z n elementow

jc: To jest to samo. Pytanie jest, ile jest takich funkcji. Ciąg to funkcja, określona na N lub na jakimś skończonym zbiorze.

6latek : Wiec tak Liczba wszystkich funkcji będzie rowna liczbie wszystkich ciagow ze zbioru {1,2,3 4 ,...,k} o wyrazach ze zbioru {1,2 3 4 ,....,n}

jc: Tak, ale ile to będzie? Ile to 6*7? Tyle samo, co 7*6 bo mnożenie jest przemienne.

6latek : LIczba tych funkcji będzie rowna n(n−1)(n−2)(n−3)*......(n−k+1)= n!

6latek : Albo możemy powiedziedz ze jest pewna permutajcja tych elementow

jc: Źle. Pomyśl jeszcze raz. Ile jest funkcji przeksztacających zbiór {1,2,3, ...,, k} w zbiór {1,2,3,.., n}? Dla przykładu, niech k=3, n=5.

6latek : k=3 n=5 tych wszystkich wszystkich funkcji będzie 5³=125 wiec wszystkich funkcji będzie n^k

jc: Dobrze, a czy widzisz dlaczego tak jest?

6latek : To znaczy wiem jak policzyć ale nie widzde tego dlaczego tak

jc: Nie rozumiem, czy to znaczy, że znasz wzór, ale nie potrafisz go uzasadnić?

6latek : Tworzymy ciagi zlozone z k−elementow z e z zbioru n elenentowego Elementy n mogą się powtarazc w tych ciagach

jc: Czy potrafisz wyjaśnić skąd bierze się liczba n^k? Inaczej, dlaczego właśnie tyle ciągów możemy utworzyć (nie wiem skąd Twoja awersja do funkcji)?

6latek : Nie W sumie lubie funkcje ( nie pomyslalem w ten sposób

jc: No to pomyśl, jak systematycznie wypisać ciągi (a,b,c,d) wiedząc, że a,b,c,d ∊ {0,1}.

6latek : Będzie tych funkcji 16 Pozniej je wypiszse 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 na razie mam4 potem dopiszse reszte

jc: Jak to zrobić, aby niczego nie przegapić? A może takie zadanie pomoże: a ∊{x,y,z}, k ∊{1,2}, utwórz wszystkie możliwe pary ak.

6latek : Pozwolisz ze zrobie to później

Metis: Tabelkowo

jc: Sugeruję drzewko

Jerzy: Nie róbcie Małolatowi wody z mózgu

jc: Jerzy, 6latek nie zdaje matury. Jakie ma znaczenie, czy będzie znał odpowiedż? Ważne jest aby zrozumiał. Oczywiście możemy wszystko opowiedzieć zabierając satysfakcję z samodzielnej pracy.

6latek : Drzewko? a co to jest ? Nie pamiętam abyśmy takie zadania robili Zrobie to sobie tabelka

Jack: nie robiles drzewkiem? ja wiekszosc zadan z prawdopodobienstwa jak nie wiedzialem jak sie za to zabrac, to drzewko

Metis: To kombinatoryka Jack

6latek : f(x) f(y) f(z) Y={1,2} −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 Miałem dostać 8 rownych takich funkcji i mam

6latek : Nawet z rachunku prawdopodobieństwa nie . I nie rownych tylko wszystkich

Jack: np. zadanie typu w urnie mamy n kul bialych i 4 kule czarne. Oblicz ile jest kul jesli przy dwukrotnym wyciaganiu kul z urny (bez zwracania)

	5
prawdopodobienstwo wyciagniecia kul mieszanych(o roznych kolorach) wynosi
	7

No to rysujemy drzewko C − czarne B − biale i wtedy mamy ze mieszane to galaz czerwona i niebieska zatem rozwiazanie to

n		4		4		3		5
	*		+		*		=
n+4		n+3		n+4		n+3		6

oczywiscie zalozenia co do mianownika itd.

Jack: a to przepraszam ze mieszam ;x

6latek : Jack być może ze tak można Jednak wracając do mojego problemu to najgorszse jest ustalenie dziedziny i zbioru wartości Np. w takim zadaniu W turnieju szachowym bierze udział 6 zawodnikow i każdy gra z każdym Kazda gra moz esie skonczyc wygrana ,przegrana lub remisem Ile jest roznych możliwych wynikow tujnieju jeśli przez pojecie wynik turnieju będziemy rozumieli ostateczny zapis w tabeli spotkan ?

	6 2
Wobec tego na tym turnieju będzie rozegranych 15 spotkan bo		= 15

Teraz mamy 3 możliwości (W , P R) Teraz co będzie dziedzina a co zbiorem wartości ? Jak najszybciej rozpoznać

6latek : Już widać ze dziedzina nie mogą być możliwe wyniki Ale to sobie narysowałem graf i widze a bez tego?

jc: Masz tabelę n x n. Usuwasz przekątną (zawodnik nie gra sam ze sobą). Bierzesz to, co nad przekątną (czyli połowę z tego co zostało). Tyle masz pól: (n² − n)/2 = m. A tu idea drzewka: pierwsze pole wypełniasz na 3 sposoby (wygał, przegał, remis), niezleżnie od tego jak wypełniłeś pierwsze pole, drugie znów możesz wypełnic na 3 sposoby, itd. itd. Razem masz 3^m. Tu polom przypisujesz wynik rozgrywki. Drzekwo trochę nie wyszło i jest małe (a nawet niemożliwe bo tabela może mieć 1 pole, 3 pola, ale nie 2)

6latek : Czyli możliwości tych jest 3¹⁵

Mila: f :{x₁,x₂, x₃<...x₁₅}→{W,P,R} Wynik pierwszej partii może być zapisany na 3 sposoby, drugiej na 3 sposoby . . piętnastej partii na 3 sposoby . 3¹⁵ −liczba różnych możliwych wyników turnieju . Może być np. taki wynik turnieju. (W,W,W,R,W,P,P,P,P,P,R,R,R,R,P)

6latek : Dobry wieczor Milu Pozdrawiam Dzisiaj miałem wolne ale nastepna sobota będzie parcujaca dla mnie . Chcialem dzisiaj się trochę nauczyć o liczbie funkcji