Dowód podzielności/ trudny ! Wiciorny: Udowodnij lemat: jeśli 3 nie dzieli n, oraz nie dzieli n+1 to 3| n²+n+1 . Druga cześć z którą sobie chyba poradze po pierwszej: wykorzystaj ten lemat do wskazania, że 30|n⁵−n

Mila: 1) Rozważmy przypadek: n=3k+1 wtedy n+1=3k+2 ( nie jest podzielne przez 3), k∊C (3k+1)²+3k+2= 9k²+6k+1+3k+2=9k²+9k+3=3*(3k²+3k+1) jest podzielne przez 3,

Wiciorny: A dałoby się coś założyć z uwagi na liczby pierwsze? Tak z ciekawości, czy tutaj nie ma zależności ?

Mila: Nie wiadomo jaką liczbą jest n, to że nie dzieli się przez 3 nie znaczy , że jest liczba pierwszą.

Wiciorny: Dziękuje, jednak zagmatwałem się. Jak użyć tego lematu do dowodu nr dwa ? Generalnie rozłożyłem n⁵−n na czynniki i mam (n²+1)*n(n−1)(n+1) widzę iloczyn 3 kolejnych liczb, jako są podzielne przez 3 ale jak użyć lematu do tego ?

Mila: Bez lematu , to tak: n²+1=n²−4+5 (n²−4+5)*(n−1)*n*(n+1)= [(n−2)*(n+2)+5]*(n−1)*n*(n+1)= =(n−2)*(n+2)(n−1)*n*(n+1)+5*(n−1)*n*(n+1) Analizuj. pierwszy składnik to iloczyn 5 kolejnych liczb całkowitych drugi podzielny przez 5 i przez 6. Z lematem zastanowię się. Chyba trzeba jakoś inaczej przekształcić