wartość oczekiwana czlowiek: Urna zawiera 5 kul o numerach: 0, 1, 2, 3, 4. Z urny ciągniemy kulę, zapisujemy numer i kulę wrzucamy z powrotem do urny. Czynność tę powtarzamy, aż kula z każdym numerem zostanie wyciągnięta co najmniej raz. Oblicz wartość oczekiwaną liczby powtórzeń. Czy ktoś ma pomysł na to zadanie ?

czlowiek:

jc: średnia liczba losowań = 5 (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5)

g: Najpierw wyciągamy jedną, np. 3. Następnie wyciągamy dotąd, aż wyciągniemy inną niż 3, czyli którąś z czterech pozostałych. Przez N[4,5] oznaczam średnią liczbę losowań potrzebnych do wyciągnięcia jednej z czterech. Niech następna będzie 1. Następnie losujemy, żeby wyciągnąć jedną z trzech różnych od 3 i od 1. Średnią liczbę teraz potrzebną oznaczam N[3,5]. Itd. aż do N[1,5]. N[k,n] = ∑_p=1^∞ p*P[k,n,p] P[k,n,p] to prawdopodobieństwo tego, że potrzebną kulę wyciągniemy za p−tym razem. P[k,n,p] = ((n−k)/n)^p−1*(k/n) Na boku: ∑_p=1^∞ p*q^p−1 = = ∑_p=1^∞ q^p−1 + ∑_p=2^∞ q^p−1 + ∑_p=3^∞ q^p−1 + ... =

	1		q		q2		1
=		+		+		+ .... =
	1−q		1−q		1−q		(1−q)2

	1		n
N[k,n] = (k/n)*		=
	(1 − (n−k)/n)2		k

X = 1 + N[4,5] + N[3,5] + N[2,5] + N[1,5] = 1 + 5/4 + 5/3 + 5/2 + 5/1 (tyle samo co jc)