Metoda eulera ten typ świercz: Rózniczka metoda Eulera x²y''+2xy'−2y=0 Chciałem zrobic to metodą uzmienniania stalych jednak jak układam macierze i chce policzyc wyznacznik dla C1' to g(x) jest przecież równe zero, czy ktoś jest w stanie podać jakąs wskazówke?

jc: Bo to jest równanie jednorodne, więc stałe są stałe!

ten typ świercz: to w takim razie nie rozwiązuje go poprzez wyznaczniki?

jc: Sprawdź, że y = x jest rozwiązaniem. Drugie rozwiązanie spełnia pewne równanie związane z wyznacznikiem. Rozwiąż to równie. Będziesz miał drugie, niezależne rozwiązanie.

Mariusz: Równanie Eulera możesz sprowadzić do równania o stałych współczynnikach zamianą zmiennej x=e^t

ten typ świercz: mogłbys to rozpisać to ze zmianą x=e^t ?

jc: Równanie można zapisać równoważnie tak: x u' + 4 u, gdzie u = (y/x)'. Znajdujesz u, a potem y. Ale myślę, że w zadaniu chodziło o wykorzystanie wyznacznika Wrońskiego.

Mariusz: x=e^t

dx
	=et
dt

dy		dy	dt
	=
dx		dt	dx

dy		dy
	=		e−t
dx		dt

	dy		dy
x		=
	dx		dt

d2y		d		dy
	=		(		)
dx2		dx		dx

d2y		d		dy
	=		(		e−t)
dx2		dx		dt

d2y		d		dy		dt
	=		(		e−t)
dx2		dt		dt		dx

d2y		d		dy
	=		(		e−t)e−t
dx2		dt		dt

d2y		d2y		dy
	=(		e−t−		e−t)e−t
dx2		dt2		dt

d2y		d2y		dy
	=(		−		)e−2t
dx2		dt2		dt

	d2y		d2y		dy
x2		=		−
	dx2		dt2		dt

Teraz wstawiasz wszystko do równania

ten typ świercz: dzięki

jc: Nic z tego nie rozumiem. Ale może Ci wyjdzie y = C₁ x + C₂/x²

jc: A tak z wyznacznikiem: Jeśli A y'' + B y' + C y = 0 A z'' + B z' + C z = 0 to A(z''y − y'' z) + B(z' y − y' z) = 0 z''y − y'' z = (z' y − y' z) ' A W' + B W = 0 U nas y=x, x² W' + 2x W =0, W =1/x² = xz' − z z to Twoje drugie rozwiązanie.

Mariusz:

	d2y		dy		dy
(		−		)+2		−2y=0
	dt2		dt		dt

d2y		dy
	+		−2y=0
dt2		dt

λ²+λ−2=0 (λ+2)(λ−1)=0 Tyle wyjdzie

jc: Mariusz, czyli co?

Mariusz: jc To z wyznacznikiem nie skomplikuje się nam gdy będziemy mieli równanie trzeciego rzędu i tylko jedną całkę szczególną

jc: Czy to pytanie bez znaku zapytania?

Mariusz: Mnie się wydaje że otrzymamy równanie drugiego rzędu z dwiema zmiennymi zależnymi i bez możliwości wyrugowania jednej zmiennej równanie się skomplikuje więc znów jakiś ograniczony sposób proponujesz zwłaszcza że równanie Eulera nie musi być drugiego rzędu Ciekaw jestem twojego zdania i dlaczego akurat takie rozwiązanie proponujesz

jc: W pierwszym wpisie bylo coś o wyznaczniku, a równanie jest jednorodne, więc coś takiego przyszło mi do głowy. Równanie rozwiązałem jednak po swojemu. Wspomniany wyznacznik to Wrońskian. Słyszałeś o Hoene−Wrońskim? Dziwna jakaś postać.

Mariusz: Ja tam wrońskianu używam tylko do niejednorodnych Do obniżania rzędu jest podstawienie które jest wygodniejsze niż związek całki szczególnej z wyznacznikiem Wrońskiego