Całka podówjna drzemmajster: teraz mam inny problem, z której strony ugryźć taka całkę:

	x
∫∫		dxdy, gdzie 0≤x≤1, 1≤y≤√3
	(x2+y2)2

próbowałem wyciągnać x przed nawias (najpierw po y a potem po ) ale męczy mnie ten x jeszcze w mianowniku: jakieś wskazówki ?

Jerzy:

	x
To całka podwójna ... = ∫ [∫		dy]dx
	x2+y2

drzemmajster: wiem że jest podwójna, ale licząc tą wewnętrzną (po d/dy) mam problem, trzeba ją przez podstawienie czy jak ?

drzemmajster: tylko tam na dole jest suma kwadratów x i y podniesiona do kwadratu

jc:

	xdx		1		1
∫		= −
	(x2+y2)2		2		x2+y2

	1
∫01 ... dx =		[1/y2 − 1/(1+y2) ]
	2

∫[1/y² − 1/(1+y²) ] dy = −1/y − arctag y ∫∫ ... dxdy = [−1/y − arctag y]₁^√3 = − (1/√3−1) − (π/3 − π/4)

drzemmajster: a z czego tu korzystałeś?

Jerzy: to spostrzegawczość:

	1		1		1		1		x
(−		*		)' = −		*(−		)*(2x) =
	2		x2+y2		2		(x2+y2)2		(x2+y2)2

drzemmajster: czyli w tej można odwrócić kolejność całkwania, bo iloczyn jest rodzielny ?

jc: Raczej dlatego, że wartości funkcji są dodatnie. Funkcja jest nieograniczona, więc mógłby się pojawić jakiś problem, ale skoro całka jest skończona? Masz rację, rzecz wymaga uzsadnienia

Jerzy: Da się tą całkę policzyć "klasycznie" , ale obliczenia są dość żmudne.

jc: Bzdurę napisałem, funkcja podcałkowa jest oczywiście ograniczona, a przy tym ciągła. Można zmieniać kolejnośc całkowania. Jerzy, co masz na myśli? rachunek bez zmiany kolejności całkowania?

Jerzy:

	a		1		a2 + y2 − y2
Nie .. ∫		dy =		[∫		dy] =
	(a2 + y2)2		a		(a2 + y2)2

	1		dy		y2
=		[∫		dy − ∫		dy] ... itd.
	a		a2+y2		a2+y2

Jerzy: Tzn ..tak , bez zmiany kolejności

Jerzy: pod drugą całką oczywiście (a² + y²)² w mianowniku

drzemmajster: chciałem tak jak ty Jerzy robić na początku, ale wolałem się wstrzymać