Równania płaszczyzny. Michał: Równania płaszczyzny. 1. Znaleźć równania płaszczyzn stycznych do powierzchni z=2x²−3y², które są prostopadłe do prostej l: x=1+4t, y=6t, z=2+t. Wektor v(4,6,1) fx=4x fy=−6y 4x=4 −6y=6 x=1 y=−1 f(1,−1)=−1 z+1=4(x−1)+6(y+1) Czy dobrze?

jc: Wektor prostopadły do powierzchni w punkcie (x,y,2x²,−3y²): (4x,−6y, −1) Dla jakiego (x,y) wektor (4x,−6y, −1) jest równoległy do wektora (4,6,1) ? Odpowiedź: dla (x,y) = (−1,1), a więc coś pomyliłeś

Michał:

	y3−x2
2. Na powierzchni z=		znaleźć punkt P(xo,yo,zo) o tej własności, że płaszczyzna ε
	y2

styczna do tej powierzchni w punkcie P jest równoległa do płaszczyzny 8x−4y−4z+1=0. 2. Tutaj trochę nie miałem pomysłu − rozwiązałem to tak:

	1
z=2x−y+
	4

z−zo=fx(x−xo)+fy(y−yo)

	−2x
fx=
	y2

	2x2
fy=		+1
	y3

Teraz z równania z wziąłem: fx=2 i fy=−1 Z układu równań: x=−1 y=−1 Podstawiam do równania i wyliczam zo = −1. ostatecznie P(−1,−1,−1) Bardzo proszę o sprawdzenie. Pozdrawiam Michał

Michał: Dziękuję jc za odpowiedź! Niestety nie za bardzo rozumiem Czyli, żeby wektor był równoległy jego znaki mają być przeciwne?

jc: Jeśli opiszesz powierzchnię wzorem F(x,y,z)=0, to wektorem prostopadłym będzie gradient (F_x, F_y, F_z). F = x² + zy² − y³ Wektor prostopadły w punkcie (x,y,z=...): (2x, 2zy−3y², y²) Kiedy (2x, 2zy−3y², y²) || (2,−1,−1) ?

2x		2zy−3y2		y2
	=		=
2		−1		−1

2zy−3y² = y² = −x, pamiętaj, że z nie jest dowolne. Licz dalej

jc: Pierwsze zadanie: (4x,−6y, −1) || (4,6,1) 4x/4 = −6y/6 = −1/1 x = −y = −1 x= −1, y = 1 A u Ciebie bylo na odwrót. Czego nie rozumiesz?

Michał: Właśnie o tej zależności zapomniałem "4x/4 = −6y/6 = −1/1" Teraz już wszystko jasne Ostatecznie x+1=−4(x+1)−6(y−1)⇔ 4x+6y+z−1=0 Ok zabieram się za poprawę 2.

jc: (x,y,z) = (−4, 2,−2), sprawdź, bo mogłem się pomylić

Michał: A nie (−4,−2,−2) ?

Michał: A nie dobrze

Michał: A w zasadzie P(−4,−4,−2), już sam nie wiem