Wzór jawny ciągu Jawny: Znaleźć wzór jawny ciągu (an) spełniającego następujące równanie rekurencyjne: 1)a_n+1 − 2*a_n = n² + n + 2 a₀ = 0 2)W tym niestety pamiętam tylko że były podane wartości dla an an+1, i an+2 więc raczej nie uda się go rozwiązać ale zawsze jest jeszcze pierwszy a_n+3+a_n+2+a_n+1+a_n = n + 1 Nie mam pojęcia jak się za to zabrać kiedy nie ma samych a_n tylko jeszcze jakieś n+1 czy inne dziwactwa. Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć jak to zrobić krok po kroku?

Jerzy: Policz kilka pierwszych wyrazów i spróbuj znaleć prawidłowość

Mariusz: Proponuję funkcję tworzącą A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ W pierwszym równaniu zaczynasz sumowanie od jedynki W drugim równaniu zaczynasz sumowanie od trójki Funkcje tworzące są dobre bo wystarczy je wstawić do równania i równanie się samo rozwiązuje

jc: Ja zastosował metodę uzmienniania stałych. a_n = f_n * 2ⁿ f_n+1 2ⁿ⁺¹ = 2 f_n 2ⁿ + n² + n + 2 f_n+1 = f_n + (n² + n + 2) /2ⁿ⁺¹ f_n = pewna suma do policzenia ... (wiadomo jak, ale ...) Może lepiej, jak Mariusz policzy ...

Mariusz: Do obliczenia tej sumy proponuję użyć sumowania przez części Funkcje tworzące są wygodniejsze bo do uzmienniania stałych trzeba znać rozwiązanie równania jednorodnego (dla pierwszego rzędu jest czynnik sumacyjny więc jest to do zaakceptowania)