Proste ekstremum. tom: Cześć! Czy mógłby mi ktoś rozwiązać to zadanie ? Tzn. Wiem, że trzeba policzyć ekstremum, ale strasznie się w tym gubię. Bardzo by mi pomogło, jeśli ktoś by mi to rozwiązał i mógłbym lecieć wg. tego schematu z resztą zadań. W skrócie: Podaj największy iloczyn xyz, jeśli x+y+z=c, gdzie c = stała. Wiem, że x+y+z=c, więc z = c−x−y, a dalej podstawiając to pod xyz mam xyc−x²y−xy². Liczę pierwsze podchodne: f'x = yc−2xy−y² i fy' = xc−x²−2xy. Teraz powinienem przyrównać je do zera, rozwiązać układ równań, żeby znaleźć punkty stacjonarne, potem obliczyć pochodne drugiego rzędu, złożyć z nich wyznacznik, obliczyć wyznacznik dla wszystkich punktów stacjonarnych i dalej: jeśli wyznacznik <0 lub =0 − brak ekstremum, a jeśli > od 0 to w zależności od tego co znajduje się w macierze w lewym górnym rogu, ma minimum lub maksimum. Gubię się trochę w wyznaczaniu punktów stacjonarnych, więc jeśli mógłby mi ktoś to rozwiązać chociaż do tego momentu to byłbym bardzo wdzięczny.

tom: Małe odświeżenie: Znalazłem coś, czego jeszcze nie przerabialiśmy, a mianowicie mnożnik Lagrange. Który wykorzystuje się przy ekstremach warunkowych (a moje ekstremum jest warunkowe). ΔF=λΔG moje f(x,y,z) = xyz, a g(x,y,z) = x+y+z=c ⇒x+y+z−c=0 z tego wychodzi, iż yz = λ xz = λ xy = λ z tego mam yz = xz ⇒ y=x oraz yz=xy ⇒ z=x

	c		c		c
x+y+z=c ⇒ 3x = c ⇒ x =		, y =		, z =		.
	3		3		3

	c3		c		c		c
Maksimum dla f(x,y,z) = xyz jest równe		w punkcie (		,		,		). Może
	27		3		3		3

piszę głupoty bo poczytałem o tym sposobie kilkanaście minut temu, ale chyba jest ok, prawda ?

jc: x = −t, y =−t, z=c+2t, x+y+z = c xyz = (c+2t)t² →∞ przy t→∞ Iloczyn nie jest ograniczony z góry!

jc: Czy masz znaleźć ekstremum lokalne, czy wartość największą?

Saizou : korzystając z nierówności Am≥Gm mamy

x+y+z		c		c3
	=		≥3√xyz →		≥xyz
3		3		27

i to zachodzi dla x,y,z≥0

tom: x,y,z są większe od zera. Zapomniałem napisać. jc: Mam znaleźć największą wartość iloczynu x,y,z, gdy x+y+z=c

jc: W takim razie posłuchaj Saizou.

piotr1973: f(x,y)=xy(c−x−y), 0<x<c, 0<y<c

d
	(x (c−x−y) y) = y (c−2x−y)
dx

d
	(x (c−x−y) y) = x (c−2y−x)
dy

y (c−2x−y) = 0 x (c−2y−x) = 0 0<x<c, 0<y<c ⇒ x = c/3, y = c/3 ⇒ z=c/3 dla formalności należy pokazać, że jest to maksimum