Wektory Krzys: Wykaz ze wektory (3,−1,2)(−1,2,1)(1,−1,−2) tworza baze R³. Stosujac wzory cramera(nie sarrusa) wyznacz wspolrzedne(rozklad) wektora (−10,9,1) w tej bazie

Leszek: wektory tworzą bazę , jeżeli det M≠0 ,gdzie M macierz zbudowana z tych wektorów sprawdz to e₁=(3;−1;2) e₂=(−1;2;1) e₃=(1;−1;−2) wektory bazy wektor a=(−10;9;1) rozwiąż układ równań x₁*e₁ + x₂*e₂ + x₃*e₃= a x₁ ;x₂ ;x₃ są to szukane współrzędne

Krzys: Czyli na koncu maja byc 3 uklady rownan i za e podstawiac x,y,z z tych punktow e1,e2,e3? W takim razie konieczne jest liczenie macierzy e1,e2,e3?

jc: Dlaczego trzy? Jeden układ równań.

Krzys: Jak mam wyznaczyc x1x2x3 z jednego rownania?

jc: x (3,−1,2) + y (−1,2,1) + z (1,−1,−2) = (−10,9,1) 3x − y + z = −10 −x + 2y − z = 9 2z + y − 2z = 1 Szukasz x,y,z

Krzys: I to jest cale zadanie?

jc: Nie zupełnie. Masz pokazać, że wymienione wektory tworzą bazę, tzn. że dla dowolnego wektora (a,b.c) równanie x (3,−1,2) + y (−1,2,1) + z (1,−1,−2) = (a,b,c) ma dokładnie jedno rozwiązanie (równoważnie, że wymienione wektory są liniowo niezależne i rozpinają R³).

Krzys: Okej, wiec co trzeba tu jeszcze dodac?

jc: Stosując wzory Cramera, liczysz wyznaczniki. Jeśli wyznacznik główny ≠ 0, to znaczy, że układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie (i nie ma znaczenia, co stoi po prawej stronie równań). Dlatego, jeśli wyznacznik główny wyjdzie ≠ 0, to rozważany układ równań będzie bazą.

Krzys: Ok dzieki