równanie różniczkowe Łukasz: Cześć wszystkim, Potrzebuje pomocy z równaniem różniczkowym: 1) dy/dx + 2y/x = 3 y(1)=1 Szczerze to w ogóle nie wiem jak to ugryźć i prosiłbym o rozwiązanie krok po kroku

Leszek:

dy		y		dy		dt
	+2*		=3 podstawienie y/x=t <=> y=xt =>		=t+x*
dx		x		dx		dx

po podstawieniu do równania różniczkowego otrzymujemy

	dt		dt		dx		dt		dx
x*		=3−3t <=>		=		=> ∫		=∫
	dx		3(1−t)		x		3(1−t)		x

	−1
są to całki elementarne i otrzymujemy :		*ln|1−t|=ln|x| <=> ln|1−t|=−3*ln|x|
	3

	1		1
czyli ln|1−t|=ln|1/x3|=> 1−t =		+ C <=> 1−y/x = U{1/x3} +C => y/x=1−		+ C
	x3		x3

	1
zatem y=x−		+ C
	x2

z warunku y(1)=1 wynika C=1

	1
ostateczne rozwiązanie : y=x−		+1
	x2

Mariusz:

dy		y
	=3−2
dx		x

y=ux y'=u'x+u u'x+u=3−2u u'x=3−3u u'x=3(1−u)

du		3
	=		dx
1−u		x

−ln|1−u|=3ln|x|+C

1
	=Cx3
1−u

1
	=C
x3−x2xu

1
	=C
x3−x2y

	1
x3−x2y=
	C

x³−x²y=−C₁ x³+C₁=x²y

	x3+C1
y=
	x2

1+C₁=1 C₁=0 y=x

Leszek: pomyłka ,zle wyznaczyłem C ,powinno być C=0

Łukasz: Czyli ostateczne równanie będzie miało formę: y=x=1/2x² + 1? Oraz pytanie, skąd rozbieżność w rozwiązaniach?

Leszek: w moim rozwiązaniu przy stałej C powinien stać znak * a nie + ( bład drukarski)

	C
i dlatego rozwiązanie ogólne powinno byc : y=x−		i na podstawie warunku y(1)=1
	x2

C=0 i ostateczne rowiązanie y=x

Łukasz: Dziękuję pięknie

Leszek: zawsze najlepiej sprawdzać zadanie poprzez różniczkowanie

	C
proszę obliczyć pochodną funkcji y = x −
	x2

dy		C
	=1+2*
dx		x3

po podstawieniu do równania różniczkowego otrzymujemy

	C		2		C
1+2*		+		*(x−		) = 3<=> 3 = 3
	x3		x		x2

Mariusz: Leszek rozwiązał w ten sam sposób co ja jednak gdy ja pisałem rozwiązanie to Leszek swojego jeszcze nie wysłał