ROWNANIE macierzowe -: roziwac rownanie macierzowe AX=B −4 2 1 4 −4 A= 3 1 −1 −2 B= 2 2 −4 2 −1 1

jc: −4x+2y+z+4u = −4 3x +y −z −2u = 2 2x −4y +2z−u = 1 X= t −t −2t 2t − 1 t = parametr

-: skad sie wzielo t,−t,−2t,2t−1?

jc: Z rozwiązania układu równań dla X= x y z u

-: nadal nie wiem jak to rozwiazac...

jc: Wstawiasz (duże X to cała kolumna) x X = y z u Otrzymujesz układ równań. Rozwiązujesz układ równań. Czego nie rozumiesz?

-: nie wiem jak ma wygladac ten uklad rownan. w tym na gorze sa 4 niewiadome i 3 rownania

Mariusz: AX=B A⁻¹AX=A⁻¹B IX=A⁻¹B X=A⁻¹B tylko tutaj powinieneś sprowadzić układ do postaci Cramera

jc: Potrafisz pomnożyć dwie macierz? To pomnóż i napisz wynik, czyli iloczyn AX. A potem zajmiemy się rozwiązaniem.

-: ok, zrobie to potem bo wlasnie wychodze, wiec odezwe sie, dzieki

Mariusz: −4 2 1 −4−4t A= 3 1 −1 B=−2+2t 2 −4 2 1+t

jc: Mariusz, w ten sposób dajesz schemat, który nie zawsze zadziała. Przykład: [1 1 1 ] [x] = [1] [1 1 −1 ] [y] = [1] Oczywiście, można mówić, że wzięliśmy nie tą kolumnę ... Po co komplikować?

Mariusz: Działa po sprowadzeniu układu do postaci Cramera

jc: To spróbuj wytłumaczyć komuś, kto się na takich rzeczach nie zna.

-: −4x+2y+z+4u 3x+y−z−2u 2x−4y+2z−u

jc: ... teraz porównaj z B i masz układ 3 równań z 4 niewiadomymi. Spróbuj rozwiązać.

-: od poczatku chodzi mi o to ze nie pamietam jak rozwiazac uklad 3 rownan z 4 niewiadomymi

jc: Najprościej szkolną metodą (zwaną metodą Gaussa). Podstawiasz x z równania pierwszego do drugiego i trzeciego, itd. Zamiast wyliczać i podstawiać, możesz odejmować równania od siebie. Przykład. x + 2y + 3z = 4 2x + 7y+z =13 Od drugiego równania odejmujesz pierwsze pomnożone przez dwa x + 2y + 3z = 4 3y − 5y = 5

-: u=−1 x=3y 10y+z=0

jc: Jak to uzyskałeś? Napisz układ równań. Pokaż kolejne kroki rozwiązania.

-: odejmowalem rownania od siebie, najpierw wyszlo u=−1 −4x+2y−z=0 3x+y−z=0

jc: Pokaż, jak uzyskaleś u=−1.

-: na samym poczatku do wiersza 3 dodalem 2w1

-: aa nie, pomylka w takim razie

-: obliczylem jeszcze raz i wyszlo x=0,y=0,z=0,u=−1 jezeli nie tak to sie poddaje i nie wiem jak to zrobic

jc: Jak uzyskałeś u =−1. u może być dowolną liczbą. Pewnie mylisz sie w dodawaniu lub odejmowaniu.

-: nie wiem..

-: czy ktos moglby mi pomoc i to zrobic?

jc: Napisz, jak liczysz, to znajdę błędy.

ad: −4x+2y−z+4u=−4 3x+y−z−2u=2 2x−4y+2z−z=1/+2w1 −4x+2y−z+4u=−4/−2w2 3x+y−z−2u=2 −6x+7u=−7 −10x+z+8u=−8/+w2 3x+y−z−2u=2 −6x+7u=−7 −7x+6u=−6 3x+y−z−2u=2 6x+7u=−7 −7x+6u=−6 6x+7u=−7 −−−−−> u=−1,x=0 i jak podstawie to do wczesniejszych rownan, wychodzi y=0,z=0

jc: Powinno być −7z + y + 6u = −6 .. Skorzystaj z propozycji Mariusza, przenieś u na prawo i skorzystaj ze wzorów Cramera. Idę spać. Ja po prostu wklepałem liczby do programu, który napisałem sobie kilka miesięcy temu, uznając, że rozwiazywanie równań to nudne zajęcie dla komputera. A tak w ogóle, to może pisanie programów jest w takich zadaniach bardziej pouczające.

Mariusz: Ja napisałem kiedyś program dla układów Cramera

ad: jak w propozycji Mariusza za x mam podstawiac np −4−4t zeby obliczyc wyznacznik?

Mariusz: Wybierasz taką podmacierz kwadratową aby jej wyznacznik był różny od zera Kolumny które nie wchodzą do podmacierzy przenosisz do kolumny wyrazów wolnych Wiersze które nie wchodzą do podmacierzy skreślasz Przyda się policzyć rzędy macierzy głównej i rozszerzonej aby sprawdzić czy układ nie jest sprzeczny