bazy Benny: Mam B₁=(v₁, v₂, v₃), B₂=(w₁, w₂, w₃) v₁=w₂+w₃, v₂=2w₁+3w₂+4w₃, v₃=w₁+w₂+w₃ Mam znaleźć macierz odwzorowania z B₂ do B₁ (macierz C) Daną mam macierz odwzorowania z B₁ do B₂ (macierz A) C=P⁻¹*A*P gdzie P to macierz przejścia z bazy B₁ do B₂, więc wynika z tego, że P⁻¹ będzie macierzą przejścia z B₂ do B₁, ale coś mi się tutaj nie zgadza

jc: Nie masz żadnego przekształcenia. Masz dwie bazy. Możesz tylko napisać macierze zmiany bazy (wzajemnie odwrotne).

Benny: Mam podane f(v₁), f(v₂), f(v₃), więc mam dane przekształcenie. Z tych baz wyżej mogę zapisać w₁=v₃−v₂, w₂=4v₁−3v₂+2v₃, w₃=3v₂−3v₁−2v₃ i te wektory tworzą macierz przejścia z B₁ do B₂, ale czy jak wpisze v₁, v₂, v₃ do macierzy to nie powinienem dostać odwrotną macierz przejścia?

jc: Nigdzie nie ma słowa o f

Benny: https://zapodaj.net/416950d76369b.jpg.html

jc: A = 1 0 −1 −2 1 2 0 1 2 u₁ = w₂ + w₃, u₂ = 2w₁+3w₂ +4w₃, u₃ = w₁+w₂+w₃ w₁ = −u1 + u₃, w₂ = 2u₁ − u₂+2u₃ , w₃ = −u₁+u₂−2u₂ f(u₁) = w₁ − w₂ = (−u₁ + u₃) − (2u₁ − u₂+2u₃) = ... f(u₂) = ... f(u₃) = ... Odczytujesz macierz C P = 0 2 1 1 3 1 1 4 1 Inaczej: C=AP⁻¹

Benny: C=AP⁻¹ skąd taki wzór?

jc: f(u_j) = ∑_j A_{i j} w_i u_k = ∑_s P_{s k} w_s w_i= ∑_k P⁻¹_{k i} u_k f(u_j)= ∑_i,k A_{i j} P⁻¹_{k i} u_k = ∑_k C_{k j} u_k C_{k j} = ∑_i P⁻¹_{k i} A_{i j} C = P⁻¹ A Czyli odwrotnie. Cóż wcześniej się pomyliłem

jc: Policz na dwa sposoby i porównaj wyniki.

jc: Oczywiście A= 1 0 −1 −1 1 2 0 1 2 Bezpośrdeni rachunek f(u₁) = w₁ − w₂ = (−u₁ + u₃) − (2u₁ − u₂+ 2u₃) = −3u₁ + u₂ − u₃ Czyli C= −3 . . 1 . . −1 . . Jak napisałem, C możesz znaleźć bezpośrednio (tak, jak pokazałem wyżej) lub wykonując mnożenie C=P⁻¹A.

Benny: Tak, więc do czego odnosi się wzór C=P⁻¹AP?

jc: Dotyczy typowej sytuacji: f : V →V Raz piszesz macierz f w bazach B₁, B₁, a raz w bazach B₂, B₂. Wtedy zachodzi taki zwiazek pomiędzy macierzami f. Sam już sprawdź, po której stronie będzie P, a po której P⁻¹.