oblicz całke el: oblicz całke ∫x² √4x−x²dx

Mariusz: ∫R(x,√ax²+bx+c)dx a>0 √ax²+bx+c=t−√ax ax²+bx+c=t²−2√atx+ax² bx+c=t²−2√atx 2√atx+bx=t²−c x(2√at+b)=t²−c

	t2−c
x=
	(2√at+b)

	2√at2+bt−√at2+√ac
t−√ax=
	(2√at+b)

	√at2+bt+√ac
t−√ax=
	(2√at+b)

	2t(2√at+b)−2√a(t2−c)
dx=		dt
	(2√at+b)2

	√at2+bt+√ac
dx=2		dt
	(2√at+b)2

	t2−c		√at2+bt+√ac		√at2+bt+√ac
∫R(		,		)2		dt
	(2√at+b)		(2√at+b)		(2√at+b)2

∫R₁(t)dt ∫R(x,√ax²+bx+c)dx a<0 Tutaj możemy założyć że b²−4ac>0 w przeciwnym razie trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem byłby stale ujemny √ax²+bx+c=(x−λ)t √a(x−λ)(x−μ)=(x−λ)t a(x−λ)(x−μ)=(x−λ)²t² a(x−μ)=(x−λ)t² ax−aμ=xt²−λt² ax−xt²=aμ−λt² x(a−t²)=aμ−λt²

	aμ−λt2
x=
	a−t2

	aμ−aλ+aλ−λt2		μ−λ
x=		=a		+λ
	a−t2		a−t2

	(μ−λ)t
(x−λ)t=a
	a−t2

dx=(−1)a(μ−λ)(a−t²)⁻²(−2t)dt

	(μ−λ)t
dx=2a		dt
	(a−t2)2

	aμ−λt2		(μ−λ)t		(μ−λ)t
∫R(		,a		)2a		dt
	a−t2		a−t2		(a−t2)2

∫R₃(t)dt Tutaj akurat wygodniej będzie liczyć przez części

Mariusz: Do tych podstawień przydaje się pewien schemacik 1. deg L(x)≥deg M(x) Wykonujesz dzielenie wielomianów

	L(x)		R(x)
∫		dx=∫W(x)dx+∫		dx
	M(x)		M(x)

2. deg R(x)<deg M(x) ⋀ gcd(M(x),M'(x))≠const

	R(x)		R1(x)		R2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M₁(x)=gcd(M(x),M'(x)) M(x)=M₁(x)M₂(x) deg R₁(x)< deg M₁(x) deg R₂(x)< deg M₂(x) Wielomiany z licznika R₁(x) oraz R₂(x) znajdujesz za pomocą metody współczynników nieoznaczonych (Za współczynniki tych wielomianów przyjmujesz współczynniki literowe i różniczkujesz powyższą równość) 3. deg R₂(x)<deg M₂(x) ⋀ gcd(M₂(x),M₂'(x))≠const Załóżmy że M₂(x)=(x−a₁)(x−a₂)*...*(x−a_k) (x²+p₁x+q₁)(x²+p₂x+q₂)*...*(x²+p_mx+q_m)

R2(x)		A1		A2		Ak
	=		+		+...+
M2(x)		x−a1		x−a2		x−ak

	2x+p1
+B1		+
	x2+p1x+q1

	1	1
C1
	p12   √q1−   4	x+( (p1)/2)   1+( )2   √q1−( (p12)/4)

	2x+p2
+B2		+
	x2+p2x+q2

	1	1
C2
	p22   √q2−   4	x+( (p2)/2)   1+( )2   √q2−( (p22)/4)

	2x+pm
+...+Bm		+
	x2+pmx+qm

	1	1
Cm
	pm2   √qm−   4	x+( (pm)/2)   1+( )2   √qm−( (pm2)/4)