oblicz całke gie: oblicz całke ∫ x √6+x−x²dx

Mariusz: √6+x−x²=(x−3)t

Jerzy: = ∫√3² − (x − 3)²dx

Jerzy: Pomyłka

jc: t = (2x−1)/5, x=(5t+1)/2 √6 + x − x² = (5/4) √(1 − t²), t=sin u ∫ = 25/16 ∫ (5 sin u +1) cos² u du = − 125/48 cos³ u + 25/32 ( u + sin u cos u)

Mariusz: Jerzy , ta trójka jest dlatego że użyłem podstawienia Eulera z pierwiastkiem Możesz spróbować przez części powinno być nieco wygodniej zwłaszcza jeśli pomocniczo sprowadzisz trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej √6+x−x²=(x−3)t √−(x+2)(x−3)=(x−3)t −(x+2)(x−3)=(x−3)²t² −(x+2)=(x−3)t² −x−2=xt²−3t² x+xt²=3t²−2 x(1+t²)=3t²−2

	3t2−2		5
x=		=3−
	1+t2		1+t2

	5t
(x−3)t=−
	1+t2

dx=(−5)(−1)(1+t²)⁻²2tdt

	10t
dx=		dt
	(1+t2)2

	3t2−2	5t	10t
−∫				dt
	1+t2	1+t2	(1+t2)2

	150t4−100t2
−∫		dt
	(1+t2)4

	150t4−100t2
−∫		dt=
	(1+t2)4

a5t5+a4t4+a3t3+a2t2+a1t+a0		b1t+b0
	+∫		dt
(1+t2)3		1+t2

−150t4+100t2		(∑(i+1)ai+1ti)(1+t2)3−6t(∑(aiti)(1+t2)2)
	=
(1+t2)4		(1+t2)6

	b1t+b0
+
	1+t2

−150t⁴+100t²=(5a₅t⁴+4a₄t³+3a₃t²+2a₂t+a₁)(1+t²) −6t(a₅t⁵+a₄t⁴+a₃t³+a₂t²+a₁t+a₀)+(b₁t+b₀)(1+t²)³ −150t⁴+100t²=(5a₅t⁴+4a₄t³+3a₃t²+2a₂t+a₁+ 5a₅t⁶+4a₄t⁵+3a₃t⁴+2a₂t³+a₁t²−6a₅t⁶−6a₄t⁵−6a₃t⁴−6a₂t³ −6a₁t²−6a₀t+b₁t⁷+3b₁t⁵+3b₁t³+b₁t+b₀t⁶+3b₀t⁴+3b₀t²+b₀ −150t⁴+100t²=b₁t⁷+(b₀−a₅)t⁶+(3b₁−2a₄)t⁵+(3b₀+5a₅−3a₃)t⁴ +(3b₁+4a₄−4a₂)t³+(3b₀+3a₃−5a₁)t²+(b₁+2a₂−6a₀)t+a₁+b₀ b₁=0 b₀−a₅=0 3b₁−2a₄=0 3b₀+5a₅−3a₃=−150 3b₁+4a₄−4a₂=0 3b₀+3a₃−5a₁=100 b₁+2a₂−6a₀=0 b₀+a₁=0 b₁=0 b₀=a₅ a₄=0 8a₅−3a₃=−150 a₂=0 3a₅+3a₃−5a₁=100 a₀=0 a₁=−a₅ b₁=0 b₀=a₅ a₄=0 a₂=0 a₀=0 a₁=−a₅ 8a₅−3a₃=−150 8a₅+3a₃=100 b₁=0 b₀=a₅ a₄=0 a₂=0 a₀=0 a₁=−a₅ 8a₅=−25 3a₃=125

	150t4−100t2		25   125   25   − t5+ t3+   8   3   8
−∫		dt=
	(1+t2)4		(1+t2)3

	25		dt
−		∫
	8		1+t2

	150t4−100t2		1	(15t4−200t2−15)	5t
−∫		dt=−
	(1+t2)4		24	(1+t2)2	1+t2

	25
−		arctan(t)+C
	8

	3t2−2
x=
	(1+t2)

	9t4−12t2+4
x2=
	(1+t2)2

	3t4+t2−2
x=
	(1+t2)2

	1+2t2+t4
1=
	(1+t2)2

C(1+2t²+t⁴)+B(3t⁴+t²−2)+A(9t⁴−12t²+4)=15t⁴−200t²−15 9A+3B+C=15 −12A+B+2C=−200 4A−2B+C=−15 9A+3B+C=15 6A+B=46 A+B=6 9A+3B+C=15 6A+B=46 −A−B=−6 9A+3B+C=15 6A+B=46 A=8 C=−51 B=−2 A=8

	1		25		√6+x−x2
∫x√6+x−x2dx=		(8x2−2x−51)√6+x−x2−		arctan(		)+C
	24		8		x−3

Jerzy: Moja pomyłka..widziałem ∫√6x − x²dx

jc: Mariusz, strasznie długi jest Twój sposób.

gie: czy 2 rozwiązania są prawidłowe (rozw. Mariusza i jc) ?

jc: Jesli nikt z nas się nie pomylił, to oba rozwiązania są prawidłowe (równe przy pewnym C). Poproś komputer o policzenie całki.

Mariusz: √ax²+bx+c=t−√ax a>0 √ax²+bx+c=(x−x₁)t a<0 Czasami jednak podstawienie √ax²+bx+c=xt−√c prowadzi do całki wymagającej mniej obliczeń Sprawdź różniczkując Użyj programu komputerowego jeśli możesz