Rozwiąż równanie wielomianowe AZ: Prosiłabym o wytłumaczenie poniższych zdań − ni w ząb nie umiem się w nie wgryźć, kompletnie nie widzę co i gdzie mam wyciągnąć itp. :c a) x⁴ − 5x² + 4 = 0 b) x⁴ + x³ + x² − 3x = 0 c) 4x⁴ + 4x³ − 9x = x − 2

Jack: a) nic nie wyciagasz tylko robisz podstawienie t = x² , t ≥ 0 t² − 5t + 4 = 0 Δ = ... √Δ = ... = 3 t₁ = ... = 1 t₂ = ... = 4 x² = 1 lub x² = 4 x = − 1 lub x = 1 lub x = − 2 lub x = 2.

Jack: b) x⁴ + x³ + x² − 3x = 0 x(x³ + x² + x − 3) = 0 x = 0 lub x³ + x² + x − 3 = 0 x³ + x² + x − 3 = 0 teraz mozna zauwazyc ze 1 jest pierwiastkiem wiec mozna podzielic przez dwiumian x−1 (x³ + x² + x − 3) : (x−1) = x² + 2x + 3 zatem x = 0 lub x = 1 lub x²+2x+3 = 0 z ostatniego delta itd.

AZ: Dziękuję ślicznie. Przepisując zadanie c się pomyliłam, wstawiam poprawioną wersję (x przy 9x ma być podniesione do kwadratu) c) 4x⁴ + 4x³ − 9x² = x − 2

Jack: a szkoda bo wlasnie wyliczylem...

Jack: c) 4x⁴ + 4x³ − 9x² − x + 2 = 0 sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego i wyrazu przy najwyzszej potedze, zatem

	1		1
mozliwe pierwiastki to : −1,1,−2,2,		,−		itd.
	2		2

latwo zauwazyc ze pierwiastkiem jest x = 1 zatem dzielimy (4x⁴ + 4x³ − 9x² − x + 2) : (x−1) = 4x³ + 8x² − x − 2 teraz mozna rowniez zauwazyc, ze pierwiastkiem jest minus 2 zatem (4x³ + 8x² − x − 2 ) : (x+2) = 4x² − 1 albo jak mamy 4x³ + 8x² − x − 2 to grupujemy. 4x²(x+2) − (x+2) = (x+2)(4x²−1) zatem Pierwiastki to x = 1, x = − 2, oraz 4x² − 1 =0 −>> (2x−1)(2x+1) = 0

	1		1
x = −		lub x=
	2		2

AZ: Jeszcze raz dziękuję i przepraszam za kłopot. Bez pana bym sobie nie poradziła.

Jack: zaden pan, tylko Jack

Mariusz: Jack a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=0 Stosujesz podstawienie

	a3
x=y−
	4a4

i dostajesz równanie y⁴+b₂y²+b₁y+b₀=0 Tutaj masz dwa przypadki 1. b₁=0 (y²)²+b₂(y²)+b₀=0 Masz równanie dwukwadratowe 2. b₁≠0 y⁴+b₂y²+b₁y+b₀=(y²−py+q)(y²+py+r) Po wymnożeniu i porównaniu współczynników dostajesz układ równań Możesz też bez podstawienia ale wtedy lepiej z wzorów skróconego mnożenia i wyróżnika trójmianu kwadratowego tak jak to rozwiązuje Vax