granica Benny:

	sin(x3+y3)
lim(x,y)→(0,0)
	x2+y2

www: pomnóż licznik i mianownik przez x³+y³

jc:

	x3+y3
|		| ≤ √x2+y2
	x2+y2

Leszek: niech x=1/n oraz y=1/n po podstawieniu

	sin(1/n3+1/n3)		sin(2/n3)		2/n3
lim		= lim		≈lim		→lim (1/n)=0
	1/n2+1/n2		2/n2		2/n2

n→∞ n→∞

jc: Leszek, pokazałeś, że jeśli granica istnieje, to jest równa 0. Należy pokazać, że granica istnieje.

Benny: Nie łatwiej na współrzędnych biegunowych?

Leszek: to jest obliczenie granicy ,aby pokazać ,że granica istnieje ( co nie było w poleceniu zadania) należy oddzielnie ocenić granicę dla x→0 oraz y→0 w podobny sposób

jc: Dowód zależy od przyjętej definicji. Jeśli mówimy o ciągach, to powinniśmy pokazać, że dla każdego ciągu (x_n,y_n) →(p,q), f(x_n, y_n) →(a,b). W naszym zadaniu granica istnieje i faktycznie wynosi zero. Wystarczy złożyć dwie nierówności |sin t | ≤ t, oraz nierówność, którą zaproponowałem wcześniej (wskazówka www).

Leszek: na tym forum są to szkice rozwiązań zadań,program komputerowy używany do zapisu rozwiązań nie jest doskonały ,nie można przedstawić pełnej analizy danego problemu. Proszę zauważyć ,że nikt przy badaniu zbieżności szeregu liczbowego nie uwzględnia warunku koniecznego lim a_n =0 . n→∞

jc: Jeśli x+y=0, to mamy zero, dla x+y≠0 mamy

	sin(x3+y3)		sin(x3+y3)		x3+y3
|		| ≤ |		| |		| ≤√x2+y2
	x2+y2		x3+y3		x2+y2

W każdym wypadku mamy |f(x,y)| ≤ √x²+y². Dlatego granicą jest zero. Takie zadania, ja to, dawałbym tylko studentom matematyki. −−− Uważam, że zastosowany na forum edytor równań jest wjątkowo udany. Warunek konieczny jest przydatny, jesli chcemy stwierdzić rozbieżność szergu.