Całkowalność w sensie Riemanna Przemysław: 2. Zbadać całkowalność w sensie Riemanna funkcji

	(nx)
f(x)=∑n=1∞		, gdzie (nx) oznacza część ułamkową z nx
	n2

Zacznijmy od tego, że dla x∊ℤ f(x)=0, bo (nx)=0 f(x) jest okresowe z okresem 1, bo (nx) jest okresowe w ten sam sposób. Rozważę więc x∊(0,1) Jeżeli x jest niewymierne to:

	(nx)		x		1		π2
∑Nn=1		=∑Nn=1		=x*∑Nn=1		→x*
	n2		n2		n2		6

	1
ponieważ NWD(x,		)=1
	n

	π2
W takim razie na niewymiernych f(x)=x*		, a taka funkcja jest ciągła
	6

możliwe nieciągłości występują dla x wymiernych, a więc zbiór nieciągłości funkcji f(x) jest najwyżej równoliczny ze zbiorem liczb wymiernych i jako taki jest miary 0 (miara równolicznych zbiorów jest raczej równa, prawda (gdzie raczej tzn. dla zbiorów, które nie są jakieś patologiczne)?) poza tym:

	(nx)		1
0≤		<
	n2		n2

	π2
0≤f(x)<
	6

Więc funkcja jest ograniczona. Z tego wiemy, że jest całkowalna na dowolnym przedziale domkniętym. Proszę by ktoś spojrzał ∨ podał jakieś własne rozwiązanie.

jc: Myślę, że niecałkowalna

Przemysław: Ehh... no to, gdzie się pogubiłem?

jc: f(0)=f(1)=0 f(1/2)=1/2 (1+1/9+1/25+1/49+...) f(1/3)=1/3 (1+1/16+1/49+...) + 2/3 (1/4+1/25+1/64+...)

jc: Wydaje się, że funkcja f jest nieciągła w punktach wymiernych i ciagła w punktach niewymiernych (ale jak to pokazać?). Taka funkcja będzie całkowalna.

g:

	(nx)		x
Nie zrozumiałem przejścia ∑1N		= ∑1N
	n2		n2

To raczej nieprawda, sprawdź na przykładzie N=2, x=√1/2.

jc: Bo to nie jest prawidłowy rachunek.

jc: Chyba coś mam. Wykres jest sumą coraz gęstrzych i mniejszych ząbków. Po prawj stronie każdego ząbka mamy uskok, który daje nieciągłość. Policzmy uskok w punkcie p/q, nwad(p,q)=1. Uskok jest sumą uskoków, które pojawiają się dla n=mq. Suma ta = 1/q² π²/6. Wniosek. Funkcja jest nieciągła w każdym punkcie będącym liczbą niewymierną. A teraz weźmy liczbę niewymierną x oraz ε > 0. Wystarczy teraz wskazać takie otoczenie x, że dla t z takiego otoczenia zachodzi nierówność |f(x)−f(t)| < 0 (wydaje się, że to nie jest trudne). Wniosek. Funkcja jest ciągła w każdym punkcie będzacym liczbą niewymierną. Poza tym funkcja jest ograniczona. Ostateczny wniosek. Funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna.

Przemysław: "Bo to nie jest prawidłowy rachunek." zauważ: "Jeżeli x jest niewymierne to:" Więc czemu to ma być nieprawidłowy rachunek.

1
	nie jest niewymierne, więc nie jest dobrym kontrprzykładem.
2

Przemysław: Dobra, nieważne, głupoty gadam... Dziękuję za rozwiązanie.