Całkowalność Przemysław: Sprawdzić całkowalność w sensie Riemanna funkcji:

	⎧	0, x=0
f(x)=	⎨
	⎩	1x−[1x], x≠0

na przedziale [0,1] funkcja jest ograniczona na badanym przedziale (0<1, ¹_x−[¹_x]<1) [0,1] jest przedziałem domkniętym

1
	jest ciągłe na {x | x≠0}
x

	1
[		] ma punkty nieciągłości tylko na {a|a∊ℤ}
	x

1		1
	−[		] ma punkty nieciągłości tylko na {a|a∊ℤ\{0}}, prawda?
x		x

f(x) na badanym przedziale ma punkty nieciągłości najwyżej w {0,1}. {0,1} jest zbiorem miary Jordana 0 (pokrywam zbiór odcinkami, punkt − odcinek o długości 0, 0*0=0, tak?) Korzystam z twierdzenia: "Twierdzenie: Funkcja ograniczona określona na przedziale domkniętym jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawie wszędzie ciągła, tzn. zbiór jej nieciągłości jest zaniedbywalny." a dokładniej z wynikania "w lewo". I to dobrze? Proszę o pomoc

jc: Funkcja jest nieciągła w punktach 1/2, 1/3, 1/4, ..., oraz w 0. Zbiór punktów nieciągłości ma miarę zero, więc funkcja jest całkowalna w sensie Riemmana. A ile wynosi całka? Czy to nie mała gamma?

Przemysław: "Funkcja jest nieciągła w punktach 1/2, 1/3, 1/4, ..., oraz w 0." No tak, rozważałem [x] i x i stąd mi te całkowite się wzięły. "Zbiór punktów nieciągłości ma miarę zero" Jeżeli mógłbym prosić, to jak coś takiego argumentować? "A ile wynosi całka? Czy to nie mała gamma?" A tego to już nie wiem

jc: Zbiór mairy zero: zbiór, który możesz pokryć skończoną lub przeliczalną rodziną odcinków domkniętych o łącznej długości nie wiekszej od wcześniej pomyslanego ε >0. No to pokrywamy: [1/2 − ε/4, 1/2 + ε/4] [1/3 − ε/8, 1/3 + ε/8] [1/4 − ε/16, 1/4 + ε/16] ... Łączna długość = ε(1/2+1/4/+1/8 +...) = ε

Przemysław: Dziękuję bardzo!