ekstrema benny: jak sie liczy ekstrema funkcji n zmiennych?

g: Dla dwóch zmiennych opisane jest tu https://pl.wikipedia.org/wiki/Ekstremum w rozdziale Funkcje określone na podzbiorach płaszczyzny Dla wyższych n też prawdopodobnie trzeba badać znak wyznacznika hesjanu plus jakieś dodatkowe warunki, w szczególności że wszystkie drugie pochodne nie mieszane powinny być tego samego znaku.

Benny: Trzeba badać znak wyznacznika i minora/ów. Potrzebne było mi to wcześniej, bo nie miałem dostępu do żadnego źródła informacji. Dzięki

jc: Nie trzeba. Bada się formę kwadratową. To tak samo, jak w przypadku funkcji kwadratowej: mozna badać Δ i znak a lub można sprowadzić wielomian do postaci kanonicznej.

Benny: To czemu w przypadku funkcji 3 zmiennych bada się minory?

Jack: a to sie nie robilo pochodnych czastkowych? ; o

Benny: Czyli trzeba skorzystać z algebry i zbadać określoność formy kwadratowej?

Jack: a co z tym? http://www.etrapez.pl/filmy/kfwz/ekstremaschemat.pdf

jc: Aby sprawdzić, czy forma kwadratowa jest dodatnio określona, możesz możesz zdiagonalizować formę lub możesz patrzyć na znaki wyznaczników. Przykład x² + y² + z² + xy + yz + zx = (a² + b² + c²)/2 a =y+z, b =z+x, c=x+y x = (−a+b+c)/2, itd. Ale możesz liczyć 3 wyznaczniki: 1x1, 2x2, 3x3 (wszystkie powinny być dodatnie). [ 1 1/2 1/2 ] [ 1/2 1 1/2 ] [ 1/2 1/2 1 ]

Benny: Diagonalizacja jest czasochłonna dla takiej macierzy 3 na 3. Co w przypadku, gdy tych zmiennych mamy, więcej? Muszę badać wszystkie wyznaczniki?

jc: Jack, drugie pochodne budują pewną macierz. Jest to macierz współczynników formy kwadratowej pojawiającej się z rozwinięciu Taylora. Po prostu patrzymy na kwadratowe przybliżenie w otoczeniu punktu stacjonarnego. Czasem to wystarcza. Podobnie jest w jednym wymiarze. f(x)=x² (druga pochodna wystarczy), f(x)=x⁴ też minimum w zerze, ale druga pochodna nie wystarczy.

jc: Benny, nie wszystkie, tylko n.

jc: Benny, myślę, że koszt diagonalizacji jest rzędu n², koszt liczenia wszystkich wyznaczników jest rzędu n³. Może coś mylę.

Benny: Gdy od razu dostaniemy macierz trójkątną chyba bez sensu byłoby diagonalizować formę, ale myślę, że przy najbliższej okazji sprawdzę dwa sposoby i porównam.

jc: Na początku mamy macierz symetryczną.