Calki pomocy Paluu: calka (3x−1)/sqrt(x²+2x+5)

Mariusz:

	3x−1
∫		dx
	√x2+2x+5

√x²+2x+5=t−x x²+2x+5=t²−2tx+x² 2x+5=t²−2tx 2tx+2x=t²−5 x(2t+2)=t²−5

	t2−5
x=
	2t+2

	2t2+2t−t2+5		1	t2+2t+5
t−x=		=
	2t+2		2	t+1

	2t(2t+2)−2(t2−5)
dx=		dt
	(2t+2)2

	1	t2+2t+5
dx=			dt
	2	(t+1)2

	3t2−2t−17
3x−1=
	2(t+1)

1		3t2−2t−17	t+1	t2+2t+5
	∫				dt
2		(t+1)	(t2+2t+5)	(t+1)2

1		3t2−2t−17
	∫		dt
2		(t+1)2

1		3(t2+2t+1)−8t−20
	∫		dt
2		(t+1)2

1		3(t2+2t+1)−8(t+1)−12
	∫		dt
2		(t+1)2

1		8		12
	(∫3dt−∫		dt−∫		dt)
2		t+1		(t+1)2

1		12
	(3(t+1)+		−8ln|t+1|)+C
2		(t+1)

1		(t+1)2+4
	(3		−8ln|t+1|)+C
2		(t+1)

	t2+2t+5
(3		−4ln|t+1|)+C
	2(t+1)

3√x²+2x+5−4ln|x+1+√x²+2x+5|+C

Mariusz: √ax²+bx+c=t−√ax a>0 √ax²+bx+c=(x−x₁)t b²−4ac>0 Powyższe dwa podstawienia wystarczą bo gdy a>0 to możemy użyć pierwszego podstawienia a gdy a<0 to możemy założyć że b²−4ac>0 inaczej trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem byłby stale ujemny Jest jeszcze jedno podstawienie √ax²+bx+c=xt+√c które to czasami prowadzi do całki która wymaga mniej obliczeń

Jerzy: https://matematykaszkolna.pl/forum/327327.html

azeta:

	dx		dx
∫		=∫		podstawienie x+1=sinht
	√x2+2x+5		√(x+1)2+1)

dx=coshtdt

	coshtdt
∫
	√sinh2t+1

cosh²t−sinh²t=1 => cosh²t=sinh²t+1

	coshtdt
∫		=∫dt=t+C
	√cosh2t

x+1=sinht

	et−e−t
x+1=
	2

	1
2(x+1)=et−
	et

2(x+1)e^t=e^2t−1 e^2t−2(x+1)e^t−1=0 Δ=4(x+1)²+4 √Δ=2√(x+1)²+1 e^t₁=U{2(x+1)+2√(x+1)²+1{2}=x+1+√(x+1)²+1 e^t₂=x+1−√(x+1)²+1) t₁=ln(x+1+√(x+1)²+1) t₂=ln(x+1−√(x+1)²+1)) wyrażenie pod logarytmem2 jest zawsze ujemne więc bierzemy pod uwagę t₁

	dx
zatem ∫		=ln(x+1+√(x+1)2+1)+C
	√x2+2x+5