szereg magda: Zbadać zbiezność szergu ∑(1−lnn/n)ⁿ.

Leszek: dla n→∞ n>>>ln(n) ; ponieważ lim ln(n)/n = 0 , wg reguły de'Hospitala zatem a_n=[1−ln(n)]ⁿ ; lim a_n = e dla n→∞ ;czyli nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego i ten szereg jest rozbieżny

Leszek: w zapisie a_n jest błąd powinno być a_n = [1−ln(n)/n]ⁿ lim a_n ≠ 0 dalej jest dobrze

jc: a_n →0. Stawiam, że szereg nie jest zbieżny.

magda: a co wynika z tego że a_n →0?

g: Ten ciąg wygląda na zbieżny do ciągu 1/n, chociaż nie umiem tego ściśle udowodnić.

jc: Nic, po prostu odniosłem się do wcześniejszego wpisu. Nie wiem, czy szereg jest zbieżny.

jc: Wystarczyłoby pokazać, że a_n > 1/(2n) i mielibyśmy odpowiedź, że szereg jest rozbieżny. Ale jak to zrobić?

magda: Czyli Leszek żle to rozwiązał?

jc: (1−t)e^t+t2 ≥ 1 przynajmniej dla t ∊ {0,1/2], funkcja rosnąca. 1 − t ≥ e^{−t − t2} (1−t)ⁿ ≥ e^{−nt − nt2} Podstawiam t = (ln n) / n (1 − (ln n)/n )ⁿ ≥ (1/n) * e^{− (ln n)2 / n} ≥ 1/(ne) bo (ln n)² / n ≤ 1 Dlatego rozpatrywany szereg jest rozbieżny.